Exercício resolvido de termodinâmica

O gás de fotões no Universo

Exercício 39 · Lição 7 — Estrutura matemática: as relações fundamentais

gás de fotões
radiação
radiação cósmica de fundo
relação fundamental
expansão adiabática
função homogénea
potencial químico nulo

Enunciado

Nos primeiros instantes do Universo, a matéria é um plasma quente de núcleos, eletrões e fotões. Por volta de $T_{i} \approx 3000 K$ , formam-se os primeiros átomos e os fotões ficam livres. Considera-se que, nesse instante, o gás de fotões está em equilíbrio à temperatura $T_{i}$ e que sofre depois uma expansão adiabática reversível à medida que o Universo se expande. Admite-se a sua relação fundamental

S (U, V) = \frac{4}{3} a V^{1/4} U^{3/4},

em que $a$ é uma constante dimensional positiva. A entropia não depende do número $N$ de fotões: este número não se conserva.

Recordar a definição de função homogénea de grau um e mostrar que $S$ é uma delas.
Representar o andamento de $S$ em função de $U$ a $V$ fixo. Esta função é côncava? Comentar.
Determinar $T$ , $P$ e $μ$ a partir das derivadas de $S$ . Mostrar em particular que $U = a^{4} V T^{4}$ e que $P = U / (3 V)$ e, depois, comentar o valor de $μ$ .
Escrever o primeiro princípio para este gás e particularizá-lo para uma expansão adiabática reversível. Deduzir uma relação entre $U$ e $V$ ao longo desta transformação.
Deduzir que $V T^{3}$ se mantém constante ao longo da expansão.
Reencontrar este resultado diretamente, a partir da entropia expressa em função de $T$ e $V$ .
O gás de fotões é hoje observado a $T_{f} \approx 3 K$ : é a radiação cósmica de fundo. Por que fator foi multiplicado o volume do Universo desde a emissão?

Dica

Na representação entropia,

1/ T = (\partial S / \partial U)_{V}

P / T = (\partial S / \partial V)_{U}

μ / T = - (\partial S / \partial N)_{U, V}

. Na questão 4, uma transformação adiabática reversível verifica

d S = 0

, logo

d U = - P d V

: separar as variáveis.

Solução detalhada

Solução

Questão 1. Uma função

f

de várias variáveis é homogénea de grau um se

f (λ x, λ y) = λ f (x, y)

para todo o

λ > 0

. Aqui,

S (λ U, λV) = \frac{4}{3} a (λV)^{1/4} (λ U)^{3/4} = \frac{4}{3} a λ^{1/4 + 3/4} V^{1/4} U^{3/4} = λ S (U, V) .

A entropia do gás de fotões é, portanto, extensiva.

Questão 2. A

V

fixo,

S

é proporcional a

U^{3/4}

. A sua primeira derivada,

(\frac{\partial S}{\partial U})_{V} = a V^{1/4} U^{- 1/4} > 0,

é positiva: $S$ cresce com $U$ e a temperatura é positiva. A sua segunda derivada,

(\frac{\partial ^{2} S}{\partial U ^{2}})_{V} = - \frac{a}{4} V^{1/4} U^{- 5/4} < 0,

é negativa: $S$ é côncava em $U$ . A curva parte da origem com uma tangente vertical e encurva-se depois, ficando acima das suas cordas. Esta concavidade traduz a estabilidade do equilíbrio do gás de fotões.

Questão 3. Pela questão 2,

\frac{1}{T} = a (\frac{V}{U})^{1/4} ⟹ (\frac{U}{V})^{1/4} = a T ⟹ U = a^{4} V T^{4} .

A derivada em ordem a $V$ , a $U$ fixo, vale

\frac{P}{T} = (\frac{\partial S}{\partial V})_{U} = \frac{4}{3} a \cdot \frac{1}{4} V^{- 3/4} U^{3/4} = \frac{a}{3} (\frac{U}{V})^{3/4} .

Ora, $(U / V)^{3/4} = ((U / V)^{1/4})^{3} = a^{3} T^{3}$ , donde

P = T \cdot \frac{a}{3} \cdot a^{3} T^{3} = \frac{a ^{4} T ^{4}}{3} = \frac{U}{3 V} .

Por fim, $S$ não depende de $N$ , logo $μ = - T (\partial S / \partial N)_{U, V} = 0$ . O potencial químico dos fotões é nulo: como o seu número não se conserva, ajusta-se livremente no equilíbrio, e acrescentar um fotão não custa nada.

Questão 4. Sendo nulo o termo

μ d N

, a relação fundamental diferencial escreve-se

d U = T d S - P d V

. Para uma expansão adiabática reversível,

d S = 0

, logo, com

P = U / (3 V)

d U = - P d V = - \frac{U}{3 V} d V ⟹ \frac{d U}{U} = - \frac{1}{3} \frac{d V}{V} .

Integrando entre o estado inicial e um estado qualquer da expansão, $ln (U / U_{i}) = - \frac{1}{3} ln (V / V_{i})$ , ou seja,

U V^{1/3} = constante .

Questão 5. Substituamos $U$ por $a^{4} V T^{4}$ :

a^{4} V T^{4} \cdot V^{1/3} = a^{4} V^{4/3} T^{4} = constante .

Como $a$ é constante, $V^{4/3} T^{4} = (V^{1/3} T)^{4}$ é constante, logo $V^{1/3} T$ também o é; elevando ao cubo, $V T^{3} = constante$ .

Questão 6. Exprimamos

S

em função de

T

V

, substituindo

U

por

a^{4} V T^{4}

S = \frac{4}{3} a V^{1/4} (a^{4} V T^{4})^{3/4} = \frac{4}{3} a V^{1/4} a^{3} V^{3/4} T^{3} = \frac{4}{3} a^{4} V T^{3} .

Uma expansão adiabática reversível é isentrópica: $S$ é constante, logo $V T^{3}$ também. Reencontra-se diretamente o resultado da questão 5.

Questão 7. Uma vez que

V T^{3}

se conserva,

\frac{V _{f}}{V _{i}} = (\frac{T _{i}}{T _{f}})^{3} = (\frac{3000}{3})^{3} = (1 0^{3})^{3} = 1 0^{9} .

O volume do Universo foi multiplicado por mil milhões desde a emissão, o que corresponde a um fator $1 0^{3}$ nas distâncias. A radiação emitida a cerca de $3000 K$ , arrefecida pela expansão, é a radiação cósmica de fundo medida hoje a $2, 7 K$ .