Rozwiązane zadanie z termodynamiki

Zmiana rozmiaru układu

Ćwiczenie 7 · Lekcja 3 — Pojęcia podstawowe

ekstensywność
intensywność
jednorodność
powierzchnia
analiza wymiarowa

Treść zadania

Typowy jednorodny układ ma masę $m$ , objętość $V$ , liczbę cząstek $N$ , energię wewnętrzną $U$ , temperaturę $T$ i ciśnienie $P$ . Zakładamy tu, że $U$ jest ekstensywna, a oddziaływania dalekiego zasięgu i efekty brzegowe pomijamy. Zmieniamy rozmiar układu przy ustalonym stanie intensywnym: $(m, V, N, U) \mapsto (λm, λV, λ N, λ U)$ , gdzie $λ > 0$ , przy czym $T$ i $P$ pozostają niezmienione.

Wyznaczyć stopień jednorodności wielkości $m / V$ , $V / N$ , $U / N$ , $P V$ , $U^{2} / V$ i $V^{1/3}$ . Które wielkości są ekstensywne, które intensywne, a które nie są ani ekstensywne, ani intensywne?
Proponuje się dwa wyrażenia na energię: $U_{1} = a N k_{B} T$ oraz $U_{2} = a N^{2} k_{B} T$ , gdzie $a > 0$ jest bezwymiarowe i niezależne od rozmiaru układu. Sprawdzić ich wymiary, a następnie ustalić, które z nich jest zgodne z założeniem ekstensywności. Przypomnieć, dlaczego są to dwa odrębne sprawdzenia.
Dla kuli o promieniu $R$ wyrazić pole powierzchni $A$ jako funkcję objętości $V$ . Wyznaczyć stopnie jednorodności $A$ i $A / V$ przy powiększaniu pojedynczej kuli przy ustalonej gęstości.
Porównać pole powierzchni kuli o objętości $8 V$ z całkowitym polem powierzchni ośmiu oddzielnych kul o objętości $V$ każda. Wyjaśnić, dlaczego „powiększenie obiektu” i „zestawienie jego kopii obok siebie” nie dają tego samego wyniku dla pola jego powierzchni granicznych.

Wskazówka

Zastąpić każdą wielkość jej wartością po zmianie skali. Dla wielkości jednorodnej stopnia

k

otrzymany czynnik musi wynosić

λ^{k}

. W przypadku kuli wyjść od

V = 4 π R^{3} /3

A = 4 π R^{2}

Szczegółowe rozwiązanie

Rozwiązanie

Pytanie 1. Czynniki skali mnożą się w iloczynie i dzielą w ilorazie. Jawnie otrzymujemy

\frac{λm}{λV} = \frac{m}{V}, \frac{λV}{λ N} = \frac{V}{N}, \frac{λ U}{λ N} = \frac{U}{N} .

Te trzy stosunki są stopnia $0$ , a więc intensywne. Dalej

P (λV) = λ P V, \frac{( λ U ) ^{2}}{λV} = λ \frac{U ^{2}}{V}, (λV)^{1/3} = λ^{1/3} V^{1/3} .

Zatem $P V$ i $U^{2} / V$ są stopnia $1$ , czyli ekstensywne w sensie podanego prawa skalowania; $V^{1/3}$ jest stopnia $1/3$ , więc nie jest ani ekstensywne, ani intensywne. Stopień jednorodności nie określa jednostek: $P V$ wyraża się w dżulach, a $U^{2} / V$ w $J^{2} m^{- 3}$ .

Pytanie 2.

N

jest liczbą bezwymiarową, a

k_{B}

wyraża się w

J K^{- 1}

. Oba wyrażenia mają więc wymiar energii. Jednak

U_{1} (λ N, T) = λ U_{1} (N, T), U_{2} (λ N, T) = λ^{2} U_{2} (N, T) .

Tylko $U_{1}$ jest zgodne z założoną ekstensywnością. Wzór może zatem mieć poprawne jednostki, a mimo to niepoprawnie zależeć od rozmiaru układu. Nie wyklucza to wszelkiej energii nieekstensywnej: to założenie przyjęte w tym zadaniu wyklucza $U_{2}$ .

Pytanie 3. Wyznaczamy promień i podstawiamy go do wzoru na pole powierzchni:

R = (\frac{3 V}{4 π})^{1/3}, A = 4 π (\frac{3 V}{4 π})^{2/3} = (36 π)^{1/3} V^{2/3} .

Zatem $A (λV) = λ^{2/3} A (V)$ : pole powierzchni jest stopnia $2/3$ . Po podzieleniu przez $λV$ otrzymujemy $A (λV) / (λV) = λ^{- 1/3} A (V) / V$ . Stosunek pola powierzchni do objętości jest stopnia $- 1/3$ i maleje, gdy kula rośnie.

Pytanie 4. Dla pojedynczej kuli

A (8 V) = 8^{2/3} A (V) = 4 A (V)

. Natomiast osiem oddzielnych kul ma całkowite pole powierzchni

8 A (V)

. Ich całkowite pole powierzchni jest więc dwa razy większe. Powiększenie zwartego obiektu zachowuje jego kształt i zmniejsza względny udział powierzchni granicznych. Zestawienie kopii obok siebie zachowuje wszystkie powierzchnie graniczne kopii. Badając wkłady powierzchniowe, trzeba sprecyzować operację geometryczną; to właśnie one są pomijane w ekstensywnym opisie objętości.