Rozwiązane zadanie z termodynamiki

Równowaga przy więzach czy stan stacjonarny?

Ćwiczenie 6 · Lekcja 3 — Pojęcia podstawowe

równowaga termodynamiczna
stan stacjonarny
więzy
strumienie
układ otwarty

Treść zadania

Rozważmy trzy wyidealizowane sytuacje, pomijając grawitację.

Dwa gazy, z których każdy jest w równowadze wewnętrznej, są zamknięte w izolowanym naczyniu. Oddziela je sztywna, adiabatyczna i nieprzepuszczalna ścianka. Ich temperatury $T_{1}, T_{2}$ i ciśnienia $P_{1}, P_{2}$ są różne.
Metalowy pręt styka się końcami z dwoma termostatami o temperaturach $T_{H} > T_{C}$ . Jego powierzchnie boczne są izolowane cieplnie. Profil temperatury w pręcie nie zmienia się już w czasie, ale przepływa przez niego niezerowa moc cieplna.
Zbiornik jest zasilany wodą i opróżniany z tym samym stałym strumieniem masy. Poziom wody w zbiorniku, jej temperatura i przepływ obserwowany w każdym punkcie nie zmieniają się już w czasie.

Narysować schemat każdej sytuacji, wyznaczając granicę badanego układu i zaznaczając wymiany zachodzące przez tę granicę.
Sklasyfikować każdą sytuację: równowaga termodynamiczna przy narzuconych więzach czy nierównowagowy stan stacjonarny? Uzasadnić odpowiedź na podstawie strumieni, a nie tylko braku zmian w czasie.
W pierwszej sytuacji ścianka staje się diatermiczna, pozostając sztywna i nieprzepuszczalna. Jaka ewolucja staje się możliwa? Jaka równość musi być spełniona w końcowym stanie równowagi? Czy ciśnienia muszą się koniecznie wyrównać?
Tym razem ścianka pozostaje adiabatyczna i nieprzepuszczalna, ale zastępujemy ją ruchomym tłokiem, poruszającym się bez tarcia i bez działania siły zewnętrznej, początkowo nieruchomym. Jaka różnica wprawia go w ruch? Jeśli zostanie osiągnięty końcowy stan spoczynku, jaką równość narzuca równowaga mechaniczna?

Wskazówka

Więzy mogą utrzymywać różnicę temperatur lub ciśnień, nie dopuszczając do żadnego przepływu. Strumień wpływający równy strumieniowi wypływającemu również może utrzymywać stałe wartości wielkości, ale nie jest to równowaga.

Szczegółowe rozwiązanie

Rozwiązanie

Pytanie 1. W przypadku dwóch gazów granica obejmuje całe naczynie: przez jego zewnętrzną granicę nie zachodzi żadna wymiana, a przez ściankę nie odbywa się żaden przekaz. Po obu jej stronach zapisujemy

(T_{1}, P_{1})

(T_{2}, P_{2})

. Dla samego pręta strzałki cieplne wchodzą od strony gorącej i wychodzą od strony zimnej. Dla objętości kontrolnej wyznaczonej przez zbiornik jedna strzałka materii wchodzi przez zasilanie, a druga wychodzi przez odpływ; ta materia przenosi również energię. Pytanie 2. Oba gazy są w równowadze przy narzuconych więzach. Ścianka uniemożliwia wymianę ciepła, przemieszczenie mechaniczne i wymianę materii. Różnice

T_{1} - T_{2}

P_{1} - P_{2}

nie wywołują więc żadnej dozwolonej ewolucji. Pręt jest w stanie stacjonarnym, ale nierównowagowym: stale przepływa przez niego energia cieplna. Stała w czasie temperatura w każdym punkcie nie oznacza ani temperatury jednorodnej w przestrzeni, ani braku strumieni. Zbiornik również jest w nierównowagowym stanie stacjonarnym. Jeśli

\overset{m}{˙}_{in}

\overset{m}{˙}_{out}

oznaczają dodatnie strumienie masy, bilans masy daje

\frac{d m}{d t} = \overset{m}{˙}_{in} - \overset{m}{˙}_{out} = 0.

Masa zawarta w zbiorniku jest stała, ale każdy z dwóch strumieni jest niezerowy. Woda stale się wymienia: wybrany układ jest otwarty.

Pytanie 3. Usunięcie izolacji cieplnej umożliwia przepływ ciepła od gazu gorącego do zimnego. W końcowym stanie równowagi

T_{1, f} = T_{2, f}

. Ponieważ ścianka pozostaje sztywna, może podtrzymywać różnicę ciśnień: nic nie wymusza

P_{1, f} = P_{2, f}

. Na przykład dla dwóch gazów doskonałych stosunki

n_{1} / V_{1}

n_{2} / V_{2}

mogą być różne, a zatem różne mogą być też ciśnienia

n_{1} R T_{f} / V_{1}

n_{2} R T_{f} / V_{2}

. Pytanie 4. Jeśli pole przekroju tłoka wynosi

A

, wypadkowa sił ciśnienia, skierowana od 1 do 2, jest równa

F = A (P_{1} - P_{2})

. Początkowo jest ona niezerowa i wprawia tłok w ruch. W końcowym stanie spoczynku warunek

F = 0

wymusza

P_{1, f} = P_{2, f}

. Adiabatyczność nie wymusza równości temperatur. Istnienie końcowego stanu spoczynku jest tu warunkowe: sam bilans sił nie opisuje tłumienia ewentualnych drgań.