Rozwiązane zadanie z termodynamiki

Liczenie zmiennych niezależnych

Ćwiczenie 8 · Lekcja 3 — Pojęcia podstawowe

równanie stanu
stopnie swobody
więzy
współrzędne stanu

Treść zadania

Stany równowagi gazu doskonałego opisujemy czterema dodatnimi zmiennymi $(P, V, T, n)$ , powiązanymi relacją $P V = n R T$ . Szukamy wymiaru $d = q - r$ zbioru stanów osiągalnych, gdzie $q$ jest liczbą użytych zmiennych, a $r$ liczbą niezależnych relacji.

Wyznaczyć $q$ , $r$ i $d$ , gdy $n$ może się zmieniać. Zaproponować trzy niezależne współrzędne i wyrazić czwartą zmienną.
Powtórzyć rachunek dla ustalonej ilości substancji $n = n_{0}$ , następnie po dodatkowym narzuceniu $T = T_{0}$ , a wreszcie $V = V_{0}$ . Na każdym etapie podać wybór współrzędnych dla stanów osiągalnych.
Student dodaje do $P V = n R T$ relację $P = n R T / V$ i liczy dwa równania stanu. Wyjaśnić jego błąd.
Dwa gazy doskonałe o ustalonych ilościach substancji $n_{1}, n_{2}$ zajmują komory naczynia o całkowitej objętości $V_{tot}$ . Oddziela je diatermiczny tłok, poruszający się bez tarcia i bez działania siły zewnętrznej. Wspólna temperatura nie jest ustalona. Policzyć niezależne relacje między $(P_{1}, V_{1}, T_{1}, P_{2}, V_{2}, T_{2})$ w stanie równowagi. Wyrazić objętości i wspólne ciśnienie jako funkcje jednej pozostałej współrzędnej.

Wskazówka

We wszystkich trzech rachunkach z pytania 2 zachować cztery wyjściowe zmienne i na każdym etapie dodawać jeden więz. W przypadku tłoka wykorzystać oba równania stanu, objętość całkowitą, równowagę cieplną i równowagę mechaniczną.

Szczegółowe rozwiązanie

Rozwiązanie

Pytanie 1. Używamy

q = 4

zmiennych i jednej niezależnej relacji, czyli

r = 1

d = 3

. Można wybrać

(V, T, n)

: pozostała zmienna jest wtedy równa

P = n R T / V

. Warunek

V > 0

umożliwia to dzielenie. Pytanie 2. Dla gazu zamkniętego relacjami są

P V = n R T

n = n_{0}

, więc

r = 2

d = 4 - 2 = 2

. Odpowiednia jest para

(V, T)

, przy czym

P = n_{0} R T / V

. Gdyby od początku usunąć

n

z listy zmiennych, otrzymalibyśmy

q = 3

r = 1

, a więc również

d = 2

. Dodatkowy więz

T = T_{0}

zwiększa

r

3

i daje

d = 1

. Do sparametryzowania stanów wystarcza objętość

V

, ponieważ

P = n_{0} R T_{0} / V

. Wreszcie narzucenie

V = V_{0}

zwiększa

r

4

i daje

d = 0

: pozostaje jeden stan, w którym

P = n_{0} R T_{0} / V_{0}

. Ten ostatni zbiór nie wymaga żadnej swobodnej współrzędnej. Więzy te zmniejszają zbiór stanów osiągalnych, a nie liczbę zmiennych potrzebnych do opisu gazu bez więzów. Pytanie 3. Ponieważ

V > 0

, drugi zapis otrzymuje się, dzieląc pierwszy przez

V

. Każdy stan spełniający jedną z tych relacji automatycznie spełnia drugą. Druga relacja nie eliminuje więc żadnego dodatkowego stanu i nie zwiększa

r

. Liczyć należy niezależne więzy, a nie wiersze równań. Pytanie 4. Sześć zmiennych spełnia pięć relacji

P_{1} V_{1} = n_{1} R T_{1}, P_{2} V_{2} = n_{2} R T_{2}, V_{1} + V_{2} = V_{tot}, T_{1} = T_{2}, P_{1} = P_{2} .

Przyjmijmy $T = T_{1} = T_{2}$ i $P = P_{1} = P_{2}$ . Dodanie równań stanu daje

P (V_{1} + V_{2}) = (n_{1} + n_{2}) R T, P = \frac{( n _{1} + n _{2} ) R T}{V _{tot}} .

Po podstawieniu do każdego z równań stanu

V_{1} = \frac{n _{1} R T}{P} = \frac{n _{1}}{n _{1} + n _{2}} V_{tot}, V_{2} = \frac{n _{2} R T}{P} = \frac{n _{2}}{n _{1} + n _{2}} V_{tot} .

Czynnik $R T$ skraca się w wyrażeniach na objętości, ale nie w wyrażeniu na ciśnienie. Temperatura $T > 0$ pozostaje swobodna i wyznacza wszystkie pozostałe zmienne: pięć relacji jest rzeczywiście niezależnych, a $d = 6 - 5 = 1$ . Dodatkowa informacja energetyczna mogłaby wybrać konkretny stan; tutaj nie jest ona narzucona.