Rozwiązane zadanie z termodynamiki

Zadanie kursowe: przemiany elementarne

Ćwiczenie 9 · Lekcja 5 — Zastosowanie do gazu doskonałego

zadanie kursowe
jednoatomowy gaz doskonały
przemiana izochoryczna
przemiana izotermiczna
przemiana izobaryczna
energia wewnętrzna
praca
ciepło
pierwsza zasada termodynamiki

Treść zadania

Rozważamy $n$ moli jednoatomowego gazu doskonałego, początkowo w stanie $A(P_A,V_A,T_i)$ . Badamy oddzielnie trzy przemiany quasi-statyczne, z których każda rozpoczyna się w stanie $A$ , przy czym $T_f>T_i$ :

$A\to B$ : ogrzewanie izochoryczne od $T_i$ do $T_f$ ;
$A\to C$ : sprężanie izotermiczne w temperaturze $T_i$ , od $V_A$ do $V_A/2$ ;
$A\to D$ : ogrzewanie izobaryczne od $T_i$ do $T_f$ .

Przyjmujemy konwencję bankiera: energia przekazywana do gazu ma znak dodatni.

Przedstawić trzy przemiany na wspólnym diagramie Clapeyrona $(P,V)$ i wyznaczyć formalnie stany $B$ , $C$ i $D$ .
Obliczyć formalnie $W$ , $\Delta U$ i $Q$ dla każdej z trzech przemian.
Omówić znaki przekazów energii.
Zastosowanie numeryczne: $n=1\ \mathrm{mol}$ , $T_i=300\ \mathrm{K}$ , $T_f=500\ \mathrm{K}$ oraz $R=8{,}314\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}$ .

Wskazówka

Dla jednoatomowego gazu doskonałego

\Delta U=\frac32nR\Delta T

. Zastosować

W=-\int P\,\mathrm{d}V

oraz pierwszą zasadę termodynamiki

\Delta U=Q+W

Szczegółowe rozwiązanie

Rozwiązanie

Pytanie 1. Równanie stanu gazu doskonałego daje

\begin{aligned} \begin{array}{c|c|c|c} \text{Stan} & P & V & T \\ \hline A & P_A & V_A & T_i \\ B & P_A\dfrac{T_f}{T_i} & V_A & T_f \\[4pt] C & 2P_A & \dfrac{V_A}{2} & T_i \\[4pt] D & P_A & V_A\dfrac{T_f}{T_i} & T_f \end{array} \end{aligned}

Na diagramie $(P,V)$ przemiana $A\to B$ jest odcinkiem pionowym, $A\to C$ biegnie po izotermie $T_i$ w lewo, a $A\to D$ jest odcinkiem poziomym skierowanym w prawo.

Pytanie 2.

Ogrzewanie izochoryczne $A\to B$ . Ponieważ $\mathrm{d}V=0$ ,

W_{AB}=0, \qquad \Delta U_{AB}=\frac32nR(T_f-T_i), \qquad Q_{AB}=\frac32nR(T_f-T_i).

Sprężanie izotermiczne $A\to C$ . Temperatura jest stała, zatem $\Delta U_{AC}=0$ . Ponadto

W_{AC} =-\int_{V_A}^{V_A/2}\frac{nRT_i}{V}\,\mathrm{d}V =nRT_i\ln2, \qquad Q_{AC}=-nRT_i\ln2.

Ogrzewanie izobaryczne $A\to D$ . Przy stałym ciśnieniu $P_A(V_D-V_A)=nR(T_f-T_i)$ , zatem

W_{AD}=-nR(T_f-T_i), \qquad \Delta U_{AD}=\frac32nR(T_f-T_i), \qquad Q_{AD}=\frac52nR(T_f-T_i).

Pytanie 3. W przemianie izochorycznej całe pobrane ciepło zwiększa energię wewnętrzną. Podczas sprężania izotermicznego gaz otrzymuje pracę i oddaje dokładnie taką samą ilość energii w postaci ciepła. W przemianie izobarycznej gaz otrzymuje ciepło, zwiększa swoją energię wewnętrzną i wykonuje pracę podczas rozprężania.

Pytanie 4. Dla $T_f-T_i=200\ \mathrm{K}$ :

\begin{aligned} \begin{array}{c|r|r|r} \text{Przemiana} & W\ (\mathrm{kJ}) & \Delta U\ (\mathrm{kJ}) & Q\ (\mathrm{kJ}) \\ \hline \text{Izochoryczna }A\to B & 0 & +2{,}49 & +2{,}49 \\ \text{Izotermiczna }A\to C & +1{,}73 & 0 & -1{,}73 \\ \text{Izobaryczna }A\to D & -1{,}66 & +2{,}49 & +4{,}16 \end{array} \end{aligned}