Rozwiązane zadanie z termodynamiki

Zadanie kursowe: przemiany elementarne

Ćwiczenie 17 · Lekcja 5 — Zastosowanie do gazu doskonałego

zadanie kursowe
jednoatomowy gaz doskonały
przemiana izochoryczna
przemiana izotermiczna
przemiana izobaryczna
energia wewnętrzna
praca
ciepło
pierwsza zasada termodynamiki

Treść zadania

Rozważamy $n$ moli jednoatomowego gazu doskonałego, początkowo w stanie $A (P_{A}, V_{A}, T_{i})$ . Badamy oddzielnie trzy przemiany quasi-statyczne, z których każda rozpoczyna się w stanie $A$ , przy czym $T_{f} > T_{i}$ :

$A \to B$ : ogrzewanie izochoryczne od $T_{i}$ do $T_{f}$ ;
$A \to C$ : sprężanie izotermiczne w temperaturze $T_{i}$ , od $V_{A}$ do $V_{A} /2$ ;
$A \to D$ : ogrzewanie izobaryczne od $T_{i}$ do $T_{f}$ .

Przyjmujemy konwencję bankiera: energia przekazywana do gazu ma znak dodatni.

Przedstawić trzy przemiany na wspólnym diagramie Clapeyrona $(P, V)$ i wyznaczyć formalnie stany $B$ , $C$ i $D$ .
Obliczyć formalnie $W$ , $Δ U$ i $Q$ dla każdej z trzech przemian.
Omówić znaki przekazów energii.
Zastosowanie numeryczne: $n = 1 mol$ , $T_{i} = 300 K$ , $T_{f} = 500 K$ oraz $R = 8, 314 J mo l^{- 1} K^{- 1}$ .

Wskazówka

Dla jednoatomowego gazu doskonałego

Δ U = \frac{3}{2} n R Δ T

. Zastosować

W = - \int P d V

oraz pierwszą zasadę termodynamiki

Δ U = Q + W

Szczegółowe rozwiązanie

Rozwiązanie

Pytanie 1. Równanie stanu gazu doskonałego daje

Stan A B C D P P_{A} P_{A} \frac{T _{f}}{T _{i}} 2 P_{A} P_{A} V V_{A} V_{A} \frac{V _{A}}{2} V_{A} \frac{T _{f}}{T _{i}} T T_{i} T_{f} T_{i} T_{f}

Na diagramie $(P, V)$ przemiana $A \to B$ jest odcinkiem pionowym, $A \to C$ biegnie po izotermie $T_{i}$ w lewo, a $A \to D$ jest odcinkiem poziomym skierowanym w prawo.

Pytanie 2. Ogrzewanie izochoryczne

A \to B

. Ponieważ

d V = 0

W_{A B} = 0, Δ U_{A B} = \frac{3}{2} n R (T_{f} - T_{i}), Q_{A B} = \frac{3}{2} n R (T_{f} - T_{i}) .

Sprężanie izotermiczne $A \to C$ . Temperatura jest stała, zatem $Δ U_{A C} = 0$ . Ponadto

W_{A C} = - \int_{V_{A}}^{V_{A} /2} \frac{n R T _{i}}{V} d V = n R T_{i} ln 2, Q_{A C} = - n R T_{i} ln 2.

Ogrzewanie izobaryczne $A \to D$ . Przy stałym ciśnieniu $P_{A} (V_{D} - V_{A}) = n R (T_{f} - T_{i})$ , zatem

W_{A D} = - n R (T_{f} - T_{i}), Δ U_{A D} = \frac{3}{2} n R (T_{f} - T_{i}), Q_{A D} = \frac{5}{2} n R (T_{f} - T_{i}) .

Pytanie 3. W przemianie izochorycznej całe pobrane ciepło zwiększa energię wewnętrzną. Podczas sprężania izotermicznego gaz otrzymuje pracę i oddaje dokładnie taką samą ilość energii w postaci ciepła. W przemianie izobarycznej gaz otrzymuje ciepło, zwiększa swoją energię wewnętrzną i wykonuje pracę podczas rozprężania.

Pytanie 4. Dla

T_{f} - T_{i} = 200 K

Przemiana Izochoryczna A \to B Izotermiczna A \to C Izobaryczna A \to D W (kJ) 0 + 1, 73 - 1, 66 Δ U (kJ) + 2, 49 0 + 2, 49 Q (kJ) + 2, 49 - 1, 73 + 4, 16