Rozwiązane zadanie z termodynamiki

Zadanie kursowe: prawa Laplace'a

Ćwiczenie 10 · Lekcja 5 — Zastosowanie do gazu doskonałego

  • zadanie kursowe
  • prawo Laplace'a
  • wykładnik adiabaty
  • gamma
  • rozprężanie adiabatyczne
  • różniczkowa postać pierwszej zasady termodynamiki

Treść zadania

Rozważamy nn moli gazu doskonałego o stałym wykładniku adiabaty γ=cP/cV\gamma = c_P/c_V. Układ jest zamknięty. Przyjmujemy relację Mayera cP−cV=Rc_P - c_V = R (zob. zadanie dotyczące wyznaczenia cPc_P).

  1. Wykazać, że cV=Rγ−1,cP=γRγ−1.c_V = \frac{R}{\gamma - 1}, \qquad c_P = \frac{\gamma R}{\gamma - 1}.
  2. Gaz ulega quasi-statycznej przemianie adiabatycznej, dla której przyjmujemy Pext=PP_{\text{ext}} = P. Wychodząc od pierwszej zasady termodynamiki w postaci różniczkowej, wykazać, że dTT+(γ−1)dVV=0,\frac{\mathrm{d}T}{T} + (\gamma - 1)\frac{\mathrm{d}V}{V} = 0, a następnie wyprowadzić zależność TVγ−1=constTV^{\gamma-1} = \text{const} wzdłuż przemiany.
  3. Wyprowadzić dwie pozostałe postacie prawa Laplace'a: PVγ=constPV^\gamma = \text{const} oraz TγP1−γ=constT^\gamma P^{1-\gamma} = \text{const}.
  4. Rozważyć takie rozprężanie, w którym objętość jednoatomowego gazu (γ=5/3\gamma = 5/3), w ilości n=1n = 1 mol i o temperaturze początkowej Ti=300T_i = 300 K, zwiększa się dwukrotnie. Obliczyć TfT_f, następnie ΔT\Delta T i WW, oraz omówić znaki ΔT\Delta T i WW.
  5. Na diagramie Clapeyrona (P,V)(P,V) porównać w tym samym punkcie nachylenie takiej adiabaty i izotermy.

Wskazówka
W pytaniu 2: dU=ncV dT\mathrm{d}U = n c_V\,\mathrm{d}T oraz δW=−P dV\delta W = -P\,\mathrm{d}V, gdzie P=nRT/VP = nRT/V; następnie rozdzielić zmienne. W pytaniu 5 zróżniczkować PVγ=constPV^\gamma = \text{const} oraz PV=constPV = \text{const}.

Szczegółowe rozwiązanie

Rozwiązanie
Pytanie 1. Z cP=γcVc_P = \gamma c_V oraz cP−cV=Rc_P - c_V = R otrzymujemy cV(γ−1)=Rc_V(\gamma - 1) = R, skąd wynikają oba wzory.

Pytanie 2. Przemiana jest adiabatyczna: δQ=0\delta Q = 0, więc dU=δW\mathrm{d}U = \delta W, czyli ncV dT=−P dV=−nRTVdVn c_V\,\mathrm{d}T = -P\,\mathrm{d}V = -\dfrac{nRT}{V}\mathrm{d}V. Ponieważ cV=R/(γ−1)c_V = R/(\gamma-1):

dTT=−(γ−1)dVV.\frac{\mathrm{d}T}{T} = -(\gamma-1)\frac{\mathrm{d}V}{V}.

Po scałkowaniu: ln⁡T+(γ−1)ln⁡V=const\ln T + (\gamma-1)\ln V = \text{const}, czyli TVγ−1=constTV^{\gamma-1} = \text{const}.

Pytanie 3. Po podstawieniu T=PV/(nR)T = PV/(nR) otrzymujemy PVγ=constPV^\gamma = \text{const}, ponieważ nn jest stałe. Po podstawieniu V=nRT/PV = nRT/P otrzymujemy T(TP)γ−1=constT \left(\frac{T}{P}\right)^{\gamma-1} = \text{const}, a zatem TγP1−γ=constT^\gamma P^{1-\gamma} = \text{const}.

Pytanie 4. Najprościej zastosować prawo Laplace'a TVγ−1=constT V^{\gamma - 1} = \text{const}, które daje: TiViγ−1=TfVfγ−1T_i V_i^{\gamma - 1} = T_f V_f^{\gamma - 1}, czyli Tf=Ti 2−(γ−1)=300×2−2/3≈189T_f = T_i\,2^{-(\gamma-1)} = 300 \times 2^{-2/3} \approx 189 K. Należy pamiętać, że w tym obliczeniu temperaturę trzeba koniecznie wyrazić w kelwinach, aby uniknąć błędu! Stąd ΔT=Tf−Ti≈−111\Delta T = T_f-T_i \approx -111 K. Dla pracy, ponieważ Q=0Q = 0:

W=ΔU=32RΔT≈32×8,314×(−111)≈−1,4 kJ.W = \Delta U = \tfrac{3}{2}R\Delta T \approx \tfrac{3}{2}\times 8{,}314 \times (-111) \approx -1{,}4\ \text{kJ}.

W<0W < 0: podczas rozprężania gaz wykonuje pracę nad otoczeniem. Ponieważ nie może pobrać tej energii z żadnego źródła ciepła (Q=0Q=0), czerpie ją ze swojej energii wewnętrznej, stąd ochłodzenie ΔT<0\Delta T < 0.

Pytanie 5. Różniczkując PV=constPV = \text{const}: (dPdV)isoT=−PV\left(\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}V}\right)_{\text{isoT}} = -\dfrac{P}{V}. Różniczkując PVγ=constPV^\gamma = \text{const}: (dPdV)adiab=−γPV\left(\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}V}\right)_{\text{adiab}} = -\gamma\dfrac{P}{V}. Adiabata jest γ\gamma razy bardziej stroma niż izoterma: podczas sprężania bez odprowadzania ciepła ciśnienie rośnie szybciej, ponieważ wzrasta również temperatura.