Rozwiązane zadanie z termodynamiki

Zadanie kursowe: prawa Laplace'a

Ćwiczenie 18 · Lekcja 5 — Zastosowanie do gazu doskonałego

zadanie kursowe
prawo Laplace'a
wykładnik adiabaty
gamma
rozprężanie adiabatyczne
różniczkowa postać pierwszej zasady termodynamiki

Treść zadania

Rozważamy $n$ moli gazu doskonałego o stałym wykładniku adiabaty $γ = c_{P} / c_{V}$ . Układ jest zamknięty. Przyjmujemy relację Mayera $c_{P} - c_{V} = R$ (zob. zadanie dotyczące wyznaczenia $c_{P}$ ).

Wykazać, że $c_{V} = \frac{R}{γ - 1}, c_{P} = \frac{γ R}{γ - 1} .$
Gaz ulega quasi-statycznej przemianie adiabatycznej, dla której przyjmujemy $P_{ext} = P$ . Wychodząc od pierwszej zasady termodynamiki w postaci różniczkowej, wykazać, że $\frac{d T}{T} + (γ - 1) \frac{d V}{V} = 0,$ a następnie wyprowadzić zależność $T V^{γ - 1} = const$ wzdłuż przemiany.
Wyprowadzić dwie pozostałe postacie prawa Laplace'a: $P V^{γ} = const$ oraz $T^{γ} P^{1 - γ} = const$ .
Rozważyć takie rozprężanie, w którym objętość jednoatomowego gazu ( $γ = 5/3$ ), w ilości $n = 1$ mol i o temperaturze początkowej $T_{i} = 300$ K, zwiększa się dwukrotnie. Obliczyć $T_{f}$ , następnie $Δ T$ i $W$ , oraz omówić znaki $Δ T$ i $W$ .
Na diagramie Clapeyrona $(P, V)$ porównać w tym samym punkcie nachylenie takiej adiabaty i izotermy.

Wskazówka

W pytaniu 2:

d U = n c_{V} d T

oraz

δ W = - P d V

, gdzie

P = n R T / V

; następnie rozdzielić zmienne. W pytaniu 5 zróżniczkować

P V^{γ} = const

oraz

P V = const

Szczegółowe rozwiązanie

Rozwiązanie

Pytanie 1. Z

c_{P} = γ c_{V}

oraz

c_{P} - c_{V} = R

otrzymujemy

c_{V} (γ - 1) = R

, skąd wynikają oba wzory. Pytanie 2. Przemiana jest adiabatyczna:

δ Q = 0

, więc

d U = δ W

, czyli

n c_{V} d T = - P d V = - \frac{n R T}{V} d V

. Ponieważ

c_{V} = R / (γ - 1)

\frac{d T}{T} = - (γ - 1) \frac{d V}{V} .

Po scałkowaniu: $ln T + (γ - 1) ln V = const$ , czyli $T V^{γ - 1} = const$ .

Pytanie 3. Po podstawieniu

T = P V / (n R)

otrzymujemy

P V^{γ} = const

, ponieważ

n

jest stałe. Po podstawieniu

V = n R T / P

otrzymujemy

T (\frac{T}{P})^{γ - 1} = const

, a zatem

T^{γ} P^{1 - γ} = const

. Pytanie 4. Najprościej zastosować prawo Laplace'a

T V^{γ - 1} = const

, które daje:

T_{i} V_{i}^{γ - 1} = T_{f} V_{f}^{γ - 1}

, czyli

T_{f} = T_{i} 2^{- (γ - 1)} = 300 \times 2^{- 2/3} \approx 189

K. Należy pamiętać, że w tym obliczeniu temperaturę trzeba koniecznie wyrazić w kelwinach, aby uniknąć błędu! Stąd

Δ T = T_{f} - T_{i} \approx - 111

K. Dla pracy, ponieważ

Q = 0

W = Δ U = \frac{3}{2} R Δ T \approx \frac{3}{2} \times 8, 314 \times (- 111) \approx - 1, 4 kJ .

$W < 0$ : podczas rozprężania gaz wykonuje pracę nad otoczeniem. Ponieważ nie może pobrać tej energii z żadnego źródła ciepła ( $Q = 0$ ), czerpie ją ze swojej energii wewnętrznej, stąd ochłodzenie $Δ T < 0$ .

Pytanie 5. Różniczkując

P V = const

(\frac{d P}{d V})_{isoT} = - \frac{P}{V}

. Różniczkując

P V^{γ} = const

(\frac{d P}{d V})_{adiab} = - γ \frac{P}{V}

. Adiabata jest

γ

razy bardziej stroma niż izoterma: podczas sprężania bez odprowadzania ciepła ciśnienie rośnie szybciej, ponieważ wzrasta również temperatura.