Rozwiązane zadanie z termodynamiki

Praca i ciepło między dwoma stanami dla dwóch dróg przemiany

Ćwiczenie 19 · Lekcja 5 — Zastosowanie do gazu doskonałego

praca sił ciśnienia
ciepło
izoterma
izochora
diagram Clapeyrona
różniczka zupełna
gaz doskonały

Treść zadania

Rozważamy $n$ moli jednoatomowego gazu doskonałego o energii wewnętrznej $U = \frac{3}{2} n R T$ . Stan $A (T_{1}, V_{1})$ łączymy ze stanem $B (T_{2}, V_{2})$ dwiema drogami quasi-statycznymi, przy czym w każdej chwili $P_{ext} = P$ :

$Γ_{1}$ : rozprężanie izotermiczne w temperaturze $T_{1}$ , od $V_{1}$ do $V_{2}$ , a następnie przemiana izochoryczna przy $V_{2}$ , od $T_{1}$ do $T_{2}$ ;
$Γ_{2}$ : przemiana izochoryczna przy $V_{1}$ , od $T_{1}$ do $T_{2}$ , a następnie rozprężanie izotermiczne w temperaturze $T_{2}$ , od $V_{1}$ do $V_{2}$ .

Dla $T_{2} > T_{1}$ i $V_{2} > V_{1}$ przedstawić drogi $Γ_{1}$ i $Γ_{2}$ na diagramie Clapeyrona $(P, V)$ . Zaznaczyć stany pośrednie i kierunek przemian.
Obliczyć pracę otrzymaną $W_{1}$ i $W_{2}$ wzdłuż każdej z dwóch dróg. Ile wynosi ich różnica $W_{1} - W_{2}$ ?
Bez ponownego obliczania obu całek wyznaczyć geometrycznie $W_{1} - W_{2}$ na podstawie pola między dwiema drogami na diagramie Clapeyrona.
Obliczyć $Δ U$ wzdłuż każdej z dwóch dróg, a następnie wyznaczyć $Q_{1}$ i $Q_{2}$ . Wyciągnąć wniosek dotyczący natury $δ Q$ .
Zastosowanie numeryczne: $n = 1$ mol, $T_{1} = 300$ K, $T_{2} = 600$ K oraz $V_{2} = 2 V_{1}$ .

Wskazówka

Na diagramie Clapeyrona izochora jest pionowa, a izoterma gazu doskonałego spełnia

P = n R T / V

. Izoterma o temperaturze

T_{2}

leży powyżej izotermy o temperaturze

T_{1}

. Izochora nie wnosi wkładu do pracy sił ciśnienia. W pytaniu 3 praca otrzymana jest przeciwna do algebraicznego pola pod drogą na diagramie

(P, V)

Szczegółowe rozwiązanie

Rozwiązanie

Pytanie 1. Oznaczmy przez

C

stan pośredni drogi

Γ_{1}

, a przez

D

stan pośredni drogi

Γ_{2}

. Ich ciśnienia i objętości wynoszą

A D = (\frac{n R T _{1}}{V _{1}}, V_{1}), = (\frac{n R T _{2}}{V _{1}}, V_{1}), C B = (\frac{n R T _{1}}{V _{2}}, V_{2}), = (\frac{n R T _{2}}{V _{2}}, V_{2}) .

Ponieważ $T_{2} > T_{1}$ , izoterma $T_{2}$ leży powyżej izotermy $T_{1}$ . Droga $Γ_{1}$ biegnie od $A$ do $C$ , w prawo wzdłuż dolnej izotermy $T_{1}$ , a następnie pionowo od $C$ do $B$ wzdłuż izochory $V_{2}$ . Droga $Γ_{2}$ biegnie najpierw pionowo w górę od $A$ do $D$ wzdłuż izochory $V_{1}$ , a następnie w prawo od $D$ do $B$ wzdłuż górnej izotermy $T_{2}$ . Kierunki obu dróg są więc następujące:

Γ_{1} : A T = T_{1} C V = V_{2} B, Γ_{2} : A V = V_{1} D T = T_{2} B .

Drogi _1 i _2 na diagramie Clapeyrona. Szare krzywe stanowią przedłużenia izoterm T_1 i T_2. — Rysunek 1. Drogi $Γ_{1}$ i $Γ_{2}$ na diagramie Clapeyrona. Szare krzywe stanowią przedłużenia izoterm $T_{1}$ i $T_{2}$ .

Pytanie 2. Przyjmując konwencję pracy otrzymanej przez gaz, $δ W = - P d V$ . Izochora nie wnosi wkładu, a na izotermie o temperaturze $T$ :

W = - \int_{V_{1}}^{V_{2}} \frac{n R T}{V} d V = - n R T ln \frac{V _{2}}{V _{1}} .

Otrzymujemy zatem

W_{1} = - n R T_{1} ln \frac{V _{2}}{V _{1}}, W_{2} = - n R T_{2} ln \frac{V _{2}}{V _{1}},

a następnie

W_{1} - W_{2} = n R (T_{2} - T_{1}) ln \frac{V _{2}}{V _{1}} \neq = 0.

Stany początkowy i końcowy są takie same, lecz prace są różne: $δ W$ nie jest różniczką zupełną.

Pytanie 3. Izochory nie zakreślają żadnego pola. Ponieważ praca otrzymana jest przeciwna do pola pod krzywą, różnica

W_{1} - W_{2}

jest polem między izotermami

T_{2}

T_{1}

W_{1} - W_{2} = \int_{V_{1}}^{V_{2}} (\frac{n R T _{2}}{V} - \frac{n R T _{1}}{V}) d V = n R (T_{2} - T_{1}) ln \frac{V _{2}}{V _{1}} > 0.

Otrzymujemy ponownie wynik z pytania 2.

Pytanie 4. Energia wewnętrzna jednoatomowego gazu doskonałego zależy jedynie od temperatury. Jej zmiana jest zatem taka sama dla obu dróg:

Δ U = U_{B} - U_{A} = \frac{3}{2} n R (T_{2} - T_{1}) .

Pierwsza zasada termodynamiki, $Δ U = W + Q$ , daje $Q = Δ U - W$ , skąd

Q_{1} Q_{2} = \frac{3}{2} n R (T_{2} - T_{1}) + n R T_{1} ln \frac{V _{2}}{V _{1}}, = \frac{3}{2} n R (T_{2} - T_{1}) + n R T_{2} ln \frac{V _{2}}{V _{1}} .

Zatem

Q_{2} - Q_{1} = n R (T_{2} - T_{1}) ln \frac{V _{2}}{V _{1}} \neq = 0.

Wymienione ciepło również zależy od drogi: $δ Q$ nie jest różniczką zupełną, w przeciwieństwie do $d U$ .

Pytanie 5. Dla

ln 2 ≃ 0, 693

W_{1} Δ U ≃ - 1, 73 kJ, ≃ 3, 74 kJ, W_{2} Q_{1} ≃ - 3, 46 kJ, ≃ 5, 47 kJ, Q_{2} ≃ 7, 20 kJ .

Wzdłuż $Γ_{2}$ gaz wykonuje dwa razy więcej pracy i otrzymuje odpowiadającą jej dodatkową ilość ciepła.