Rozwiązane zadanie z termodynamiki

Translacja, obrót i ruchy termiczne

Ćwiczenie 14 · Lekcja 4 — Pierwsza zasada termodynamiki

twierdzenie Königa
obrót
energia kinetyczna
energia wewnętrzna
tarcie

Treść zadania

Układ $N$ cząstek o masach $m_{i}$ ma masę całkowitą $M$ oraz środek masy o położeniu $R$ i prędkości $V$ . Oznaczamy $ρ_{i} = r_{i} - R$ i rozkładamy prędkości:

v_{i} = V + ω \times ρ_{i} + u_{i}^{'} .

Globalną prędkość kątową $ω$ wybieramy tak, aby ruch resztkowy nie niósł żadnego całkowitego momentu pędu:

i \sum m_{i} u_{i}^{'} = 0, i \sum m_{i} ρ_{i} \times u_{i}^{'} = 0 .

Przyjmujemy tożsamość $\sum_{i} m_{i} ∣ ω \times ρ_{i} ∣^{2} = ω \cdot I_{CM} ω$ , gdzie $I_{CM}$ jest tensorem bezwładności względem środka masy.

Rozwinąć $E_{kin} = \frac{1}{2} \sum_{i} m_{i} v_{i}^{2}$ i wykazać, że trzy wyrazy mieszane są równe zeru. Wyprowadzić stąd rozkład na translację, obrót układu jako całości i ruch resztkowy.
W konwencji, w której translację i obrót układu jako całości zalicza się do ruchów makroskopowych, jaka energia kinetyczna wchodzi w skład energii wewnętrznej? Czy wystarczy przejść do układu odniesienia środka masy, aby zachować wyłącznie ruchy termiczne?
Jednorodny krążek o masie $M$ i promieniu $R$ , o nieruchomej osi, obraca się początkowo z prędkością kątową $ω_{0}$ . Jego moment bezwładności wynosi $I = M R^{2} /2$ . Hamulec go zatrzymuje. Układ krążek i hamulec jest izolowany cieplnie; jego nieruchome podpory nie wykonują żadnej pracy. Cała rozproszona energia pozostaje w tym układzie, o stałej całkowitej pojemności cieplnej $C$ . Wyznaczyć zmianę jego energii wewnętrznej i przyrost temperatury.
Obliczyć przekształconą energię i przyrost temperatury dla $M = 2, 0 kg$ , $R = 0, 10 m$ , $ω_{0} = 100 rad s^{- 1}$ oraz $C = 500 J K^{- 1}$ . Czy ta energia przekroczyła granicę układu w postaci ciepła?

Wskazówka

Skorzystać z

\sum_{i} m_{i} ρ_{i} = 0

oraz z tożsamości dla iloczynu mieszanego

(ω \times ρ_{i}) \cdot u_{i}^{'} = ω \cdot (ρ_{i} \times u_{i}^{'})

. Podczas hamowania zachowana jest suma

U + E_{kin}^{macro}

Szczegółowe rozwiązanie

Rozwiązanie

Pytanie 1. Definicja środka masy daje

\sum_{i} m_{i} r_{i} = M R

. W konsekwencji

i \sum m_{i} ρ_{i} = i \sum m_{i} r_{i} - M R = 0 .

Rozwijając każdy kwadrat, otrzymujemy

E_{kin} = \frac{1}{2} M V^{2} + \frac{1}{2} i \sum m_{i} ∣ ω \times ρ_{i} ∣^{2} + \frac{1}{2} i \sum m_{i} u_{i}^{'}^{2} + V \cdot (ω \times i \sum m_{i} ρ_{i}) + V \cdot i \sum m_{i} u_{i}^{'} + i \sum m_{i} (ω \times ρ_{i}) \cdot u_{i}^{'} .

Pierwszy wyraz mieszany znika na mocy definicji środka masy. Drugi znika, ponieważ resztkowy pęd jest równy zeru. Dla trzeciego iloczyn mieszany daje

i \sum m_{i} (ω \times ρ_{i}) \cdot u_{i}^{'} = ω \cdot i \sum m_{i} (ρ_{i} \times u_{i}^{'}) = 0.

Po uwzględnieniu podanej tożsamości dla tensora bezwładności pozostaje

E_{kin} = \frac{1}{2} M V^{2} + \frac{1}{2} ω \cdot I_{CM} ω + \frac{1}{2} i \sum m_{i} u_{i}^{'}^{2}

Pytanie 2. W tej konwencji kinetycznym wkładem do energii wewnętrznej jest ostatni wyraz, $\frac{1}{2} \sum_{i} m_{i} u_{i}^{'}^{2}$ . Energia wewnętrzna obejmuje również wewnętrzne energie potencjalne oraz ewentualne inne wewnętrzne stopnie swobody. Przejście do układu odniesienia środka masy usuwa wyraz translacyjny, lecz pozostawia wyraz związany z obrotem układu jako całości. Krążek obracający się wokół nieruchomej osi ma więc makroskopową energię kinetyczną, mimo że jego środek masy spoczywa.

Pytanie 3. Ciepło i praca przechodzące przez granicę układu krążek i hamulec są równe zeru. Siły wywierane przez podpory mogą przekazywać moment pędu, ale ich nieruchome punkty przyłożenia nie przekazują pracy. Pomijając wszelkie inne zmiany energii makroskopowej, zasada zachowania daje

Δ U + Δ E_{rotation} = 0.

Krążek się zatrzymuje, zatem $Δ E_{rotation} = 0 - \frac{1}{2} I ω_{0}^{2}$ . W konsekwencji

Δ U = \frac{1}{2} I ω_{0}^{2} = \frac{1}{4} M R^{2} ω_{0}^{2} > 0.

Po osiągnięciu wewnętrznej równowagi cieplnej model stałej pojemności cieplnej daje $Δ U = C (T_{f} - T_{i})$ , czyli

T_{f} - T_{i} = \frac{M R ^{2} ω _{0}^{2}}{4 C} .

Tarcie przekształca energię ruchu uporządkowanego w energię wewnętrzną wewnątrz układu.

Pytanie 4. Moment bezwładności wynosi

I = 2, 0 (0, 10)^{2} /2 = 0, 010 kg m^{2}

. Otrzymujemy

Δ U = \frac{1}{2} (0, 010) (100)^{2} = 50 J, T_{f} - T_{i} = \frac{50}{500} = 0, 10 K .

Układ się ogrzewa, choć $Q = 0$ : energia ta nie przekroczyła jego granicy w postaci ciepła. Była początkowo obecna jako energia kinetyczna ruchu obrotowego.