Rozwiązane zadanie z termodynamiki

Składanie jednorodnej kuli grawitacyjnej

Ćwiczenie 15 · Lekcja 4 — Pierwsza zasada termodynamiki

grawitacja
energia oddziaływania
jednorodna kula
ekstensywność
oddziaływanie dalekozasięgowe

Treść zadania

Kula o promieniu $R$ zawiera masę $M$ rozłożoną jednorodnie, o gęstości $ρ_{m}$ . Chcemy obliczyć jej grawitacyjną energię potencjalną $U_{grav}$ , przyjmując za zero energii sytuację, w której jej elementy masy są nieskończenie od siebie oddalone.

Wyobraźmy sobie, że składamy kulę z koncentrycznych warstw, zachowując tę samą gęstość. Na etapie, na którym promień osiąga wartość $r$ , złożona już masa wynosi $M (r)$ , a z nieskończoności przenosimy powłokę o masie $d M$ . Przyjmujemy, że potencjał wytworzony na jej powierzchni przez masę wewnętrzną wynosi $- GM (r) / r$ . Obliczenie dotyczy wyłącznie energii grawitacyjnej; nie zakładamy żadnej równowagi mechanicznej kuli.

Narysować złożoną już kulę i dodawaną powłokę między $r$ a $r + d r$ . Wyrazić $ρ_{m}$ , $M (r)$ i $d M$ przez $M, R, r$ i $d r$ .
Wyrazić energię oddziaływania powłoki z kulą wewnętrzną, a następnie scałkować, aby otrzymać $U_{grav}$ . Czy wynik należy podzielić przez dwa?
Kula zawiera $N$ składników o masie $m$ , przy czym $M = N m$ . Przy ustalonej gęstości $ρ_{m}$ wyrazić $R$ przez $N$ , a następnie wyznaczyć zależność $U_{grav}$ i $U_{grav} / N$ od $N$ .
Porównać energię kuli złożonej z $2 N$ składników z sumą energii dwóch kul po $N$ składników każda, nieskończenie od siebie oddalonych, wszystkich o tej samej gęstości. Skomentować znak różnicy oraz ekstensywność.

Wskazówka

Powłoka ma objętość

4 π r^{2} d r

. Jej energia oddziaływania z masą już obecną wynosi

d U_{grav} = - GM (r) d M / r

. Przy zliczaniu każda para pojawia się w chwili dodania jej zewnętrznej części.

Szczegółowe rozwiązanie

Rozwiązanie

Pytanie 1. Rysunek przedstawia kulę o promieniu

r

i masie

M (r)

, otoczoną warstwą o grubości

d r

; zaznaczony jest promień końcowy

R

. Jednorodność gęstości daje

ρ_{m} = \frac{M}{4 π R ^{3} /3} = \frac{3 M}{4 π R ^{3}}, M (r) = ρ_{m} \frac{4 π r ^{3}}{3} = M \frac{r ^{3}}{R ^{3}} .

Dodawana masa wynosi zatem

d M = 4 π ρ_{m} r^{2} d r = \frac{3 M}{R ^{3}} r^{2} d r .

Pytanie 2. Potencjał grawitacyjny jest energią na jednostkę masy. Mnożąc go przez przenoszoną masę, otrzymujemy

d U_{grav} = - \frac{GM ( r )}{r} d M = - \frac{G}{r} \frac{M r ^{3}}{R ^{3}} \frac{3 M r ^{2}}{R ^{3}} d r = - \frac{3 G M ^{2}}{R ^{6}} r^{4} d r .

Całkujemy po wszystkich promieniach składania:

U_{grav} = - \frac{3 G M ^{2}}{R ^{6}} \int_{0}^{R} r^{4} d r = - \frac{3 G M ^{2}}{R ^{6}} [\frac{r ^{5}}{5}]_{0}^{R} = - \frac{3 G M ^{2}}{R ^{6}} \frac{R ^{5}}{5} = - \frac{3 G M ^{2}}{5 R} .

Każde oddziaływanie między nową warstwą a warstwą wewnętrzną jest liczone tylko raz. Nie należy więc dodawać czynnika $1/2$ . Energia własna nieskończenie cienkiej powłoki jest rzędu $(d M)^{2}$ i w granicy ciągłej nie wnosi wkładu do całki. Znak ujemny wyraża przyciąganie; rozdzielenie mas wymaga dostarczenia energii. Wreszcie $G M^{2} / R$ ma istotnie jednostkę dżula.

Pytanie 3. Przy ustalonej gęstości

\frac{4 π R ^{3}}{3} = \frac{N m}{ρ _{m}}, R = (\frac{3 m}{4 π ρ _{m}})^{1/3} N^{1/3} .

Podstawiając $M$ i $R$ do wyrażenia na energię, otrzymujemy

U_{grav} = - \frac{3}{5} G m^{2} (\frac{4 π ρ _{m}}{3 m})^{1/3} \frac{N ^{2}}{N ^{1/3}} = - a_{g} N^{5/3},

gdzie $a_{g} = \frac{3}{5} G m^{2} (4 π ρ_{m} / (3 m))^{1/3} > 0$ nie zależy od $N$ . Energia przypadająca na jeden składnik wynosi więc $U_{grav} / N = - a_{g} N^{2/3}$ . Jej wartość bezwzględna rośnie wraz z rozmiarem układu: nie pozostaje ona wielkością intensywną.

Pytanie 4. Duża kula ma energię

U_{grav} (2 N) = - a_{g} 2^{5/3} N^{5/3}

. Dla dwóch kul nieskończenie od siebie oddalonych wzajemne oddziaływanie jest równe zeru, a suma wynosi

2 U_{grav} (N) = - 2 a_{g} N^{5/3}

. Różnica wynosi

U_{grav} (2 N) - 2 U_{grav} (N) = - a_{g} (2^{5/3} - 2) N^{5/3} < 0.

Duża kula jest silniej związana grawitacyjnie. Samo to porównanie stanów nie opisuje dynamiki ich połączenia. Pokazuje ono jednak, że $U_{grav} (2 N) \neq = 2 U_{grav} (N)$ : energia grawitacyjna nie jest ekstensywna. Zasada zachowania energii nie zostaje przez to podważona; ekstensywność jest dodatkowym założeniem, które zawodzi dla tego oddziaływania dalekozasięgowego.