Rozwiązane zadanie z termodynamiki

Praca potrzebna do rozciągnięcia błonki mydlanej

Ćwiczenie 13 · Lekcja 4 — Pierwsza zasada termodynamiki

napięcie powierzchniowe
praca uogólniona
powierzchnia międzyfazowa
błonka mydlana

Treść zadania

Płaska błonka mydlana jest rozpięta na prostokątnej ramce, w której poprzeczka o długości $ℓ$ może się przesuwać bez tarcia. Odległość $x$ między tą poprzeczką a przeciwległym bokiem ramki rośnie od $x_{A}$ do $x_{B}$ . Błonka ma dwie powierzchnie międzyfazowe powietrze-ciecz, każdą o napięciu powierzchniowym $γ$ , które przyjmujemy za stałe. Pomijamy efekty brzegowe, ciężar oraz pracę sił ciśnienia; objętość cieczy jest stała i nie zachodzi wymiana cieczy. Przesuwanie jest na tyle powolne, że równowaga mechaniczna zostaje zachowana. Przy wytwarzaniu powierzchni międzyfazowej otrzymana praca wynosi $δ W = γ d A$ , gdzie $A$ jest całkowitym polem powierzchni międzyfazowych.

Narysować ramkę i poprzeczkę, zaznaczyć $x$ , $ℓ$ oraz kierunek zewnętrznej siły rozciągającej. Wyrazić $A (x)$ , a następnie $d A$ .
Wyznaczyć potrzebną siłę zewnętrzną i obliczyć pracę otrzymaną, gdy $x$ zmienia się od $x_{A}$ do $x_{B}$ .
Obliczyć tę siłę i tę pracę dla $γ = 30 mN m^{- 1}$ , $ℓ = 5, 0 cm$ oraz $x_{B} - x_{A} = 2, 0 cm$ . Jaki błąd spowodowałoby pominięcie jednej z powierzchni?
Termostat utrzymuje błonkę w stałej temperaturze. Czy sama znajomość $γ$ i zmiany pola powierzchni wystarcza do wyznaczenia $Δ U$ i $Q$ ?

Wskazówka

Każda powierzchnia ma pole

ℓ x

. Utożsamić pracę

F_{ext} d x

z pracą wytworzenia obu powierzchni międzyfazowych. W ostatnim pytaniu odróżnić otrzymaną pracę od zmagazynowanej energii.

Szczegółowe rozwiązanie

Rozwiązanie

Pytanie 1. Rysujemy ramkę w płaszczyźnie błonki, ruchomą poprzeczkę prostopadłą do kierunku

x

oraz zewnętrzną siłę rozciągającą skierowaną w stronę rosnących

x

. Każda powierzchnia ma pole

ℓ x

. Całkowite pole i jego zmiana wynoszą więc

A = 2 ℓ x, d A = 2 ℓ d x,

ponieważ $ℓ$ jest stała. Obie powierzchnie międzyfazowe są odrębne, nawet jeśli na rysunku oglądanym od przodu się pokrywają.

Pytanie 2. Otrzymaną pracę można zapisać na dwa sposoby:

δ W = F_{ext} d x = γ d A = 2 γ ℓ d x .

Porównanie daje $F_{ext} = 2 γ ℓ$ . Siła wywierana przez błonkę przeciwdziała tej sile rozciągającej. Ponieważ $γ$ i $ℓ$ są stałe,

W_{A \to B} = \int_{x_{A}}^{x_{B}} 2 γ ℓ d x = 2 γ ℓ [x]_{x_{A}}^{x_{B}} = 2 γ ℓ (x_{B} - x_{A}) > 0.

Zwiększenie pola błonki wymaga dostarczenia pracy.

Pytanie 3. W jednostkach SI

γ = 30 \times 1 0^{- 3} N m^{- 1}

ℓ = 5, 0 \times 1 0^{- 2} m

oraz

x_{B} - x_{A} = 2, 0 \times 1 0^{- 2} m

. Zatem

F_{ext} = 2 (30 \times 1 0^{- 3}) (5, 0 \times 1 0^{- 2}) = 3, 0 \times 1 0^{- 3} N, W_{A \to B} = (3, 0 \times 1 0^{- 3}) (2, 0 \times 1 0^{- 2}) = 6, 0 \times 1 0^{- 5} J = 60 μ J .

Jednostki są spójne: $γ ℓ$ jest siłą, a $γ Δ A$ energią. Pominięcie jednej z powierzchni błędnie zmniejszyłoby siłę i pracę dwukrotnie.

Pytanie 4. Pierwsza zasada narzuca jedynie

Δ U = Q + γ Δ A .

Termostat może dostarczać lub odbierać ciepło, aby utrzymać temperaturę. Bez modelu energii wewnętrznej błonki nie znamy ani $Δ U$ , ani $Q$ . Nie można więc automatycznie utożsamić $γ Δ A$ ze zmianą energii wewnętrznej ani wywnioskować $Q = 0$ z izotermiczności.