Sprawność i współczynniki efektywności: granice Carnota z nierówności Clausiusa

Pytanie 1. Trzy tryby pracy różnią się rzeczywistym kierunkiem przekazów energii.

• W silniku czynnik otrzymuje ciepło od termostatu gorącego, oddaje ciepło termostatowi zimnemu i dostarcza pracę: $Q_{\mathrm{H}}>0$, $Q_{\mathrm{C}}<0$ oraz $W<0$.
• Zarówno w chłodziarce, jak i w pompie ciepła czynnik otrzymuje pracę, pobiera ciepło od termostatu zimnego i oddaje ciepło termostatowi gorącemu: $W>0$, $Q_{\mathrm{C}}>0$ oraz $Q_{\mathrm{H}}<0$. Obie maszyny są identyczne; zmienia się jedynie oczekiwany efekt: ochłodzenie termostatu zimnego lub ogrzanie termostatu gorącego.

W jednym cyklu czynnik powraca do stanu początkowego, więc jego energia wewnętrzna się nie zmienia: $\Delta U=0$. Pierwsza zasada $\Delta U=Q+W$ daje we wszystkich trzech przypadkach

$$Q_{\mathrm{H}}+Q_{\mathrm{C}}+W=0.$$

Pytanie 2. W silniku $W<0$, zatem $|W|=-W$. Pierwsza zasada daje $-W=Q_{\mathrm{H}}+Q_{\mathrm{C}}$, skąd

$$\eta =\frac{-W}{Q_{\mathrm{H}}}=\frac{Q_{\mathrm{H}}+Q_{\mathrm{C}}}{Q_{\mathrm{H}}}=1+\frac{Q_{\mathrm{C}}}{Q_{\mathrm{H}}}.$$

W chłodziarce lub pompie ciepła $W>0$, a pierwsza zasada daje $W=-Q_{\mathrm{H}}-Q_{\mathrm{C}}$. Ponieważ $Q_{\mathrm{H}}<0$, mamy $|Q_{\mathrm{H}}|=-Q_{\mathrm{H}}$. Zatem

$${\mathrm{COP}}_{\mathrm{R}}=\frac{Q_{\mathrm{C}}}{-Q_{\mathrm{H}}-Q_{\mathrm{C}}},{\mathrm{COP}}_{\mathrm{HP}}=\frac{-Q_{\mathrm{H}}}{-Q_{\mathrm{H}}-Q_{\mathrm{C}}}.$$

Ponieważ $-Q_{\mathrm{H}}=W+Q_{\mathrm{C}}$,

$${\mathrm{COP}}_{\mathrm{HP}}=\frac{W+Q_{\mathrm{C}}}{W}=1+\frac{Q_{\mathrm{C}}}{W}=1+{\mathrm{COP}}_{\mathrm{R}}.$$

W silniku $Q_{\mathrm{C}}<0$ i $Q_{\mathrm{H}}>0$, więc $Q_{\mathrm{C}}/Q_{\mathrm{H}}<0$ i $\eta <1$: dostarczona praca nie może przekroczyć otrzymanego ciepła, co gwarantuje już sama pierwsza zasada. Współczynnik efektywności może natomiast przekroczyć $1$: pompa ciepła nie wytwarza oddawanego ciepła, lecz przenosi je od ciała zimnego do gorącego, a otrzymana praca stanowi tylko jego część. Zawsze zachodzi nawet ${\mathrm{COP}}_{\mathrm{HP}}>1$, ponieważ ${\mathrm{COP}}_{\mathrm{R}}>0$.

Pytanie 3. Czynnik przebiega cykl, wymieniając ciepło tylko z dwoma termostatami. Nierówność Clausiusa ma postać

$$\frac{Q_{\mathrm{H}}}{T_{\mathrm{H}}}+\frac{Q_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{C}}}\le 0,$$

przy czym równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy cykl jest odwracalny. Wydzielmy wyraz zimny, a następnie pomnóżmy przez $T_{\mathrm{C}}>0$, co nie zmienia kierunku nierówności:

$$\frac{Q_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{C}}}\le -\frac{Q_{\mathrm{H}}}{T_{\mathrm{H}}}⟹Q_{\mathrm{C}}\le -Q_{\mathrm{H}}\frac{T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{H}}}.$$

W silniku $Q_{\mathrm{H}}>0$: podzielmy przez $Q_{\mathrm{H}}$, co również zachowuje kierunek nierówności,

$$\frac{Q_{\mathrm{C}}}{Q_{\mathrm{H}}}\le -\frac{T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{H}}}.$$

Podstawiając to do wyrażenia z pytania 2, otrzymujemy

$$\eta =1+\frac{Q_{\mathrm{C}}}{Q_{\mathrm{H}}}\le 1-\frac{T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{H}}}.$$

Równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy nierówność Clausiusa staje się równością, czyli dla cyklu odwracalnego: odtwarzamy w ten sposób pierwsze i trzecie twierdzenie Carnota bez żadnych założeń dotyczących czynnika roboczego. Wreszcie $\eta =1$ wymagałoby $Q_{\mathrm{C}}=0$; nierówność Clausiusa przybrałaby wtedy postać $Q_{\mathrm{H}}/T_{\mathrm{H}}\le 0$, co przeczy warunkowi $Q_{\mathrm{H}}>0$. Jest to sformułowanie Kelvina–Plancka: silnik musi nieuchronnie oddawać ciepło termostatowi zimnemu.

Pytanie 4. Tym razem wyjdźmy od nierówności Clausiusa, wydzielając wyraz gorący, a następnie pomnóżmy przez $T_{\mathrm{H}}>0$:

$$\frac{Q_{\mathrm{H}}}{T_{\mathrm{H}}}\le -\frac{Q_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{C}}}⟹Q_{\mathrm{H}}\le -Q_{\mathrm{C}}\frac{T_{\mathrm{H}}}{T_{\mathrm{C}}}⟹-Q_{\mathrm{H}}\ge Q_{\mathrm{C}}\frac{T_{\mathrm{H}}}{T_{\mathrm{C}}},$$

przy czym kierunek nierówności odwraca się przy przejściu do wartości przeciwnych. Dodajmy $-Q_{\mathrm{C}}$ do obu stron i skorzystajmy z $W=-Q_{\mathrm{H}}-Q_{\mathrm{C}}$:

$$W\ge Q_{\mathrm{C}}\left(\frac{T_{\mathrm{H}}}{T_{\mathrm{C}}}-1\right)=Q_{\mathrm{C}}\frac{T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{C}}}.$$

Obie strony są dodatnie. Podzielmy przez $W>0$, a następnie pomnóżmy przez $T_{\mathrm{C}}/(T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}})>0$:

$$1\ge \frac{Q_{\mathrm{C}}}{W}\frac{T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{C}}}⟹{\mathrm{COP}}_{\mathrm{R}}=\frac{Q_{\mathrm{C}}}{W}\le \frac{T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}}}.$$

Korzystając z zależności z pytania 2, otrzymujemy

$${\mathrm{COP}}_{\mathrm{HP}}=1+{\mathrm{COP}}_{\mathrm{R}}\le 1+\frac{T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}}}=\frac{T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}}+T_{\mathrm{C}}}{T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}}}=\frac{T_{\mathrm{H}}}{T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}}}.$$

Podobnie jak dla silnika, granice te osiąga jedynie maszyna odwracalna.

Pytanie 5. Gdy $T_{\mathrm{C}}\to T_{\mathrm{H}}$, granica sprawności $1-T_{\mathrm{C}}/T_{\mathrm{H}}$ dąży do $0$: bez różnicy temperatur nie można wytworzyć żadnej pracy. Granice obu współczynników COP, których mianownik $T_{\mathrm{H}}-T_{\mathrm{C}}$ dąży do $0$, dążą natomiast do nieskończoności: przenoszenie ciepła między dwoma ciałami o tej samej temperaturze nie wymaga, w granicy odwracalnej, żadnej pracy. Gdy $T_{\mathrm{C}}\to 0$, granica sprawności dąży do $1$, a granica ${\mathrm{COP}}_{\mathrm{R}}$ dąży do $0$: odebranie ciepła od coraz zimniejszego ciała wymaga coraz więcej pracy na każdy odebrany dżul, a więc chłodzenie w kierunku zera bezwzględnego staje się coraz bardziej kosztowne. Pytanie 6. Dla chłodziarki

$${\mathrm{COP}}_{\mathrm{R},\max }=\frac{278}{293-278}=\frac{278}{15}\approx 18,5.$$

Dla zamrażarki

$${\mathrm{COP}}_{\mathrm{R},\max }=\frac{255}{293-255}=\frac{255}{38}\approx 6,7.$$

Praca zużyta na jeden dżul odebranego ciepła wynosi $W/Q_{\mathrm{C}}=1/{\mathrm{COP}}_{\mathrm{R}}$. Stosunek obu minimalnych nakładów pracy jest więc równy $18,5/6,7\approx 2,8$: nawet idealna zamrażarka zużywa prawie trzy razy więcej pracy niż chłodziarka, aby odebrać tę samą ilość ciepła, ponieważ różnica temperatur, którą trzeba pokonać, jest ponad dwukrotnie większa. Rzeczywiste, nieodwracalne urządzenia pozostają wyraźnie poniżej tych granic.