Rozwiązane zadanie z termodynamiki

Sprawdzenie relacji Maxwella na adiabacie

Ćwiczenie 35 · Lekcja 7 — Struktura matematyczna: relacje podstawowe

Treść zadania

Dla układu zamkniętego o ustalonym składzie

d U = T d S - P d V .

Rozważamy gaz doskonały o stałej molowej pojemności cieplnej $c_{V}$ i oznaczamy $γ = c_{P} / c_{V}$ , przy czym $c_{P} - c_{V} = R$ .

Z różniczki $U (S, V)$ wyprowadzić relację Maxwella $(\frac{\partial T}{\partial V})_{S} = - (\frac{\partial P}{\partial S})_{V} .$
Obliczyć lewą stronę na podstawie $T V^{γ - 1} = const$ .
Obliczyć niezależnie prawą stronę, korzystając z $P = n R T / V$ oraz $d S = n c_{V} d T / T$ przy stałej objętości.
Sprawdzić, że oba wyniki są zgodne.

Wskazówka

W pytaniu 1 utożsamić

T = (\partial U / \partial S)_{V}

oraz

- P = (\partial U / \partial V)_{S}

, a następnie zamienić kolejność różniczkowania.

Rozwiązanie

1. Zmiennymi naturalnymi

U

są

S

V

. Mamy więc

T = (\frac{\partial U}{\partial S})_{V}, - P = (\frac{\partial U}{\partial V})_{S} .

Ponieważ pochodne mieszane $U$ są równe,

(\frac{\partial T}{\partial V})_{S} = \frac{\partial ^{2} U}{\partial V \partial S} = - (\frac{\partial P}{\partial S})_{V} .

2. Na adiabacie odwracalnej $T V^{γ - 1} = K$ . Różniczkując przy stałej entropii, otrzymujemy

V^{γ - 1} d T + T (γ - 1) V^{γ - 2} d V = 0.

Po podzieleniu przez $V^{γ - 1} d V$

(\frac{\partial T}{\partial V})_{S} = - (γ - 1) \frac{T}{V} .

3. Przy stałej objętości $P = n R T / V$ , zatem

(\frac{\partial P}{\partial S})_{V} = \frac{n R}{V} (\frac{\partial T}{\partial S})_{V} .

Ponadto przy stałej objętości $d S = n c_{V} d T / T$ , skąd $(\partial T / \partial S)_{V} = T / (n c_{V})$ . Zatem

- (\frac{\partial P}{\partial S})_{V} = - \frac{R T}{c _{V} V} .

4. Zależność Mayera daje $R / c_{V} = (c_{P} - c_{V}) / c_{V} = γ - 1$ . Prawa strona wynosi więc $- (γ - 1) T / V$ , dokładnie tyle samo co lewa.