Rozwiązane zadanie z termodynamiki

Naładowana kula a problem ekstensywności

Ćwiczenie 16 · Lekcja 4 — Pierwsza zasada termodynamiki

oddziaływanie kulombowskie
energia elektrostatyczna
ekstensywność
obojętność elektryczna

Treść zadania

Całkowity ładunek $Q > 0$ jest rozłożony jednorodnie w objętości kuli o promieniu $R$ , w próżni. Więzy utrzymują ten rozkład; uwzględniamy tu wyłącznie jego energię elektrostatyczną $U_{el}$ . Nie chodzi o kulę przewodzącą, w której ładunki w stanie równowagi rozmieściłyby się na powierzchni.

Rozkład składamy, przenosząc naładowane powłoki z nieskończoności. Dla złożonego już ładunku $Q (r)$ w kuli o promieniu $r$ potencjał na powierzchni wynosi $Φ (r) = k_{e} Q (r) / r$ , gdzie $k_{e} = 1/ (4 π ε_{0})$ . Energia jest równa zeru dla elementów ładunku nieskończenie od siebie oddalonych.

Narysować jeden etap składania. Wyrazić $Q (r)$ i $d Q$ przez $Q, R, r$ i $d r$ , a następnie obliczyć $U_{el}$ .
W modelu ciągłym złożonym z $N$ składników o jednakowym ładunku $q_{0}$ przyjmujemy $Q = N q_{0}$ . Przy ustalonej gęstości cząstek zapisać $R = r_{0} N^{1/3}$ i wyznaczyć zależność energii od $N$ . Porównać jej znak i stopień jednorodności z odpowiednimi wielkościami dla grawitacji.
Przy ustalonym ładunku całkowitym obliczyć zmianę energii podczas rozszerzenia od $R_{A}$ do $R_{B} > R_{A}$ . Jaki jest znak otrzymanej pracy zewnętrznej, jeśli to rozszerzenie jest quasi-statyczne i zachodzi bez dyssypacji? Wyrażenie na tę pracę przedstawia jedynie wkład elektryczny.
Dla ładunków o różnych znakach mikroskopowa energia oddziaływania ma postać $U_{el} = k_{e} i < j \sum \frac{q _{i} q _{j}}{r _{ij}} .$
Dlaczego prawo otrzymane dla kuli niosącej ładunek jednego znaku nie dowodzi, że cała zwykła materia jest nieekstensywna? Czy zerowy ładunek całkowity wystarcza, by suma ta była równa zeru?

Wskazówka

Zastosować

d U_{el} = Φ (r) d Q

. Konstrukcja z powłok liczy każdą parę jeden raz. W ostatnim pytaniu rozważyć prostą parę ładunków

+ q_{0}

- q_{0}

odległych o

a

Szczegółowe rozwiązanie

Rozwiązanie

Pytanie 1. Rysunek przedstawia naładowaną już kulę o promieniu

r

oraz przenoszoną powłokę o grubości

d r

. Stała objętościowa gęstość ładunku wynosi

ρ_{q} = 3 Q / (4 π R^{3})

. W konsekwencji

Q (r) = ρ_{q} \frac{4 π r ^{3}}{3} = Q \frac{r ^{3}}{R ^{3}}, d Q = 4 π ρ_{q} r^{2} d r = \frac{3 Q}{R ^{3}} r^{2} d r .

Zmiana energii przy dodaniu powłoki wynosi

d U_{el} = \frac{k _{e} Q ( r )}{r} d Q = \frac{3 k _{e} Q ^{2}}{R ^{6}} r^{4} d r .

Sumując wkłady od środka aż do powierzchni, otrzymujemy

U_{el} = \frac{3 k _{e} Q ^{2}}{R ^{6}} \int_{0}^{R} r^{4} d r = \frac{3 k _{e} Q ^{2}}{R ^{6}} [\frac{r ^{5}}{5}]_{0}^{R} = \frac{3 k _{e} Q ^{2}}{5 R} = \frac{3 Q ^{2}}{20 π ε _{0} R} .

Oddziaływanie każdej pary warstw jest liczone tylko raz; żaden dodatkowy czynnik $1/2$ nie jest potrzebny. Wynik jest dodatni: aby złożyć ładunki, trzeba pokonać odpychanie. Iloczyn $k_{e} Q^{2} / R$ wyraża się w dżulach.

Pytanie 2. Przy ustalonej gęstości cząstek

ρ_{N} = N / (4 π R^{3} /3)

mamy

r_{0} = (3/ (4 π ρ_{N}))^{1/3}

. Po podstawieniu

U_{el} = \frac{3 k _{e} ( N q _{0} ) ^{2}}{5 r _{0} N ^{1/3}} = \frac{3 k _{e} q _{0}^{2}}{5 r _{0}} N^{5/3} .

Energia ta jest stopnia $5/3$ , a więc nieekstensywna. Energia przypadająca na jedną cząstkę rośnie jak $N^{2/3}$ . Stopień jest taki sam jak dla kuli grawitacyjnej, ponieważ oba potencjały maleją jak $1/ r$ ; znak jest przeciwny, gdyż ładunki jednoimienne się odpychają. Model ciągły opisuje wkład zbiorowy, bez uwzględnienia energii własnych ładunków punktowych.

Pytanie 3. Przy ustalonym

Q

różnica wynosi

Δ U_{el} = \frac{3 k _{e} Q ^{2}}{5} (\frac{1}{R _{B}} - \frac{1}{R _{A}}) < 0.

W przemianie quasi-statycznej bez dyssypacji wkład elektryczny do otrzymanej pracy jest równy zmianie energii potencjalnej. Można to sprawdzić również przez całkowanie:

W_{ext} = \int_{R_{A}}^{R_{B}} - \frac{3 k _{e} Q ^{2}}{5 R ^{2}} d R = [\frac{3 k _{e} Q ^{2}}{5 R}]_{R_{A}}^{R_{B}} = Δ U_{el} < 0.

Czynnik zewnętrzny powstrzymuje odpychające się ładunki i podczas rozszerzania otrzymuje pracę. Ten bilans elektryczny nie obejmuje żadnego innego magazynowania energii w urządzeniu utrzymującym rozkład.

Pytanie 4. Dla ładunków jednoimiennych wszystkie iloczyny

q_{i} q_{j}

są dodatnie: ich wkłady się sumują. W materii elektrycznie obojętnej występują natomiast wkłady przyciągające i odpychające, które mogą się kompensować na dużych odległościach. Obojętność oraz, w ośrodkach, w których występuje, ekranowanie zmieniają więc rozumowanie oparte na dodawaniu wyrazów jednakowego znaku. Całkowita obojętność nie oznacza jednak

U_{el} = 0

. Dwa ładunki

+ q_{0}

- q_{0}

odległe o

a

mają zerowy ładunek całkowity, lecz niezerową energię oddziaływania

- k_{e} q_{0}^{2} / a

. Aby ustalić prawo skalowania, trzeba znać uporządkowanie ładunków i korelacje między nimi. Obliczenie dla jednorodnie naładowanej kuli nie stanowi więc ani dowodu nieekstensywności całej materii, ani dowodu ekstensywności układów obojętnych.