Rozwiązane zadanie z termodynamiki

Rozciąganie sprężystego drutu

Ćwiczenie 12 · Lekcja 4 — Pierwsza zasada termodynamiki

praca uogólniona
drut sprężysty
rozciąganie
pierwsza zasada termodynamiki

Treść zadania

Drut o długości swobodnej $L_{0}$ jest rozciągany powoli, bez histerezy, od $L_{A}$ do $L_{B}$ , przy czym $L_{0} \leq L_{A} < L_{B}$ . W badanym zakresie jego naciąg w stanie równowagi spełnia prawo

F = K (L - L_{0}),

gdzie $K > 0$ jest stałą sztywnością, niezależną od temperatury. Zewnętrzna siła rozciągająca równoważy na każdym etapie naciąg drutu. Przyjmujemy model energii wewnętrznej

U (T, L) = C (T - T_{⋆}) + \frac{1}{2} K (L - L_{0})^{2} + U_{⋆},

gdzie $C$ jest stałą całkowitą pojemnością cieplną, a $T_{⋆}, U_{⋆}$ ustalonymi wartościami odniesienia. Zmiany energii kinetycznej i energii potencjalnej ciężkości są pomijalne.

Narysować drut, jego punkt zamocowania, ruchomy koniec i zewnętrzną siłę rozciągającą. Zapisać pracę elementarną otrzymaną przy zmianie długości $d L$ , a następnie obliczyć $W_{A \to B}$ .
Rozciąganie jest izotermiczne. Obliczyć $Δ U$ oraz ciepło $Q_{A \to B}$ otrzymane w tym modelu. Czy przemiana izotermiczna pociąga za sobą w ogólności $Δ U = 0$ ?
Drut wraca od $L_{B}$ do $L_{A}$ zgodnie z tym samym prawem rozciągania. Obliczyć pracę otrzymaną na drodze powrotnej oraz w całym cyklu tam i z powrotem. Dlaczego wynik ten nie oznacza, że każda praca jest funkcją stanu?

Wskazówka

Zastosować

δ W = F_{ext} d L

i scałkować zmienną siłę. Następnie porównać wynik z różnicą energii wewnętrznej wynikającą z modelu, korzystając z

Δ U = Q + W

Szczegółowe rozwiązanie

Rozwiązanie

Pytanie 1. Na rysunku lewy koniec jest zamocowany. Na prawy koniec działa siła rozciągająca skierowana w prawo; jego przesunięcie wynosi

d L

. Praca otrzymana przez drut jest dodatnia, gdy drut się wydłuża:

δ W = F_{ext} d L = K (L - L_{0}) d L .

Siła nie jest stała. Trzeba więc obliczyć

W_{A \to B} = \int_{L_{A}}^{L_{B}} K (L - L_{0}) d L = [\frac{K}{2} (L - L_{0})^{2}]_{L_{A}}^{L_{B}} = \frac{K}{2} [(L_{B} - L_{0})^{2} - (L_{A} - L_{0})^{2}] > 0.

Sztywność ma jednostkę $N m^{- 1}$ , zatem $K (L - L_{0})^{2}$ wyraża się w $N m$ , czyli w dżulach.

Pytanie 2. Ponieważ

T_{B} = T_{A}

, wyraz cieplny się nie zmienia. Stałe odniesienia również się redukują, skąd

Δ U = C (T_{B} - T_{A}) + \frac{K}{2} [(L_{B} - L_{0})^{2} - (L_{A} - L_{0})^{2}] = W_{A \to B} .

Pierwsza zasada daje wówczas $Q_{A \to B} = Δ U - W_{A \to B} = 0$ . W tym wyidealizowanym modelu otrzymana praca jest magazynowana jako energia sprężysta. Temperatura pozostaje stała, lecz energia wewnętrzna rośnie: izotermiczność nie pociąga więc za sobą $Δ U = 0$ . Wynik $Q = 0$ zależy tu od przyjętego modelu i nie przenosi się na wszystkie materiały.

Pytanie 3. Zamiana granic całkowania zmienia znak całki:

W_{B \to A} = \int_{L_{B}}^{L_{A}} K (L - L_{0}) d L = [\frac{K}{2} (L - L_{0})^{2}]_{L_{B}}^{L_{A}} = - W_{A \to B} .

Praca otrzymana w całym cyklu tam i z powrotem jest więc równa zeru. Drut oddaje zmagazynowaną pracę. Narzucone prawo sprawia tu, że praca jest równa zmianie energii sprężystej, będącej funkcją $L$ . Jest to własność tego modelu bez histerezy i tej rodziny przemian, a nie ogólna własność przekazów energii na sposób pracy.