Prostokątny cykl chłodniczy

Pytanie 1. Punkty $A$, $B$, $C$ i $D$ znajdują się odpowiednio w lewym dolnym, prawym dolnym, prawym górnym i lewym górnym rogu. Gałęzie $A\to B$ i $C\to D$ są izobaryczne, natomiast $B\to C$ i $D\to A$ są izochoryczne. Cykl $A\to B\to C\to D\to A$ przebiega przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

Pytanie 2. Praca otrzymana przez gaz wynosi

$$W=-\int P_{\mathrm{ext}}\,\mathrm dV.$$

Jest równa zeru na izochorach $B\to C$ i $D\to A$. Na obu izobarach

$$W_{AB}=-P_1(V_2-V_1)=-P_1\Delta V, \qquad W_{CD}=-P_2(V_1-V_2)=P_2\Delta V.$$

Zatem

$$\boxed{W_{\mathrm{cycle}} =(-P_1+P_2)\Delta V =\Delta P\,\Delta V>0}.$$

Wartość ta jest równa polu prostokąta na diagramie Clapeyrona.

Pytanie 3. Dla jednoatomowego gazu doskonałego

$$\Delta U=nc_V\Delta T=\frac32nR\Delta T.$$

Na izobarze równanie stanu daje $nR\Delta T=P\Delta V_{\mathrm{branche}}$. W konsekwencji

$$\Delta U_{AB}=\frac32P_1\Delta V, \qquad \Delta U_{CD}=-\frac32P_2\Delta V.$$

Na izochorze daje ono $nR\Delta T=V\Delta P_{\mathrm{branche}}$, skąd

$$\Delta U_{BC}=\frac32V_2\Delta P, \qquad \Delta U_{DA}=-\frac32V_1\Delta P.$$

Wreszcie pierwsza zasada termodynamiki $\Delta U=Q+W$, czyli $Q=\Delta U-W$, prowadzi do następującej tabeli zbiorczej:

$$\begin{aligned} \begin{array}{c|c|c|c} \text{Gałąź} & W & \Delta U & Q=\Delta U-W\\ \hline A\to B & -P_1\Delta V & \frac32P_1\Delta V & \frac52P_1\Delta V\\[2pt] B\to C & 0 & \frac32V_2\Delta P & \frac32V_2\Delta P\\[2pt] C\to D & P_2\Delta V & -\frac32P_2\Delta V & -\frac52P_2\Delta V\\[2pt] D\to A & 0 & -\frac32V_1\Delta P & -\frac32V_1\Delta P \end{array} \end{aligned}$$

Pytanie 4. Suma zmian energii wewnętrznej jest równa zeru. Pierwsza zasada termodynamiki wymaga zatem

$$Q_{\mathrm{cycle}}=-W_{\mathrm{cycle}}=-\Delta P\,\Delta V<0.$$

Gaz otrzymuje wypadkowo pracę: jest to cykl chłodniczy. Gaz otrzymuje ciepło na $A\to B$ i $B\to C$. Na tych dwóch gałęziach pobiera ciepło ze źródeł zimnych, z którymi jest kontaktowany: chłodzone są więc te źródła zewnętrzne (na przykład wnętrze i żywność w chłodziarce), a nie sam gaz wykonujący cykl.

Na $C\to D$ i $D\to A$ gaz oddaje natomiast ciepło źródłom gorącym, na przykład powietrzu w pomieszczeniu. Oznaczając przez $Q_{\mathrm{chaud}}>0$ całkowite ciepło otrzymane przez te źródła,

$$Q_{\mathrm{chaud}} =-(Q_{CD}+Q_{DA}) =\frac52P_2\Delta V+\frac32V_1\Delta P.$$

Dzięki otrzymanej pracy cykl przenosi więc ciepło ze źródeł zimnych do źródeł gorących.

Pytanie 5. Ciepło pobrane przez gaz wynosi

$$Q_f =Q_{AB}+Q_{BC} =\frac52P_1\Delta V+\frac32V_2\Delta P.$$

Otrzymujemy stąd

$$\boxed{ \mathrm{COP} =\frac{\frac52P_1\Delta V+\frac32V_2\Delta P} {\Delta P\,\Delta V}. }$$

Pytanie 6. COP określa efekt chłodniczy uzyskany w stosunku do zainwestowanej pracy: COP równy $k$ oznacza, że każdy dostarczony dżul pracy pozwala pobrać $k$ dżuli ciepła ze źródeł zimnych.

W przeciwieństwie do sprawności silnika cieplnego COP nie jest częścią otrzymanej energii, która zostaje przekształcona w pracę. Gaz otrzymuje zarówno pracę $W_{\mathrm{in}}$, jak i ciepło $Q_f$ pobrane ze źródeł zimnych, a następnie oddaje ich sumę źródłom gorącym:

$$\boxed{Q_{\mathrm{chaud}}=Q_f+W_{\mathrm{in}}}.$$

Nie ma więc powodu, aby $Q_f$ było mniejsze od $W_{\mathrm{in}}$, a COP może być większy od 1 bez naruszania zasady zachowania energii.

Pytanie 7. Tutaj $\Delta P=2{,}0\times10^5$ Pa oraz $\Delta V=1{,}0\times10^{-2}$ m$^3$:

$$\begin{aligned} \begin{array}{c|r|r|r} \text{Gałąź} & W\ (\mathrm J) & \Delta U\ (\mathrm J) & Q\ (\mathrm J)\\ \hline A\to B & -1000 & 1500 & 2500\\ B\to C & 0 & 4500 & 4500\\ C\to D & 3000 & -4500 & -7500\\ D\to A & 0 & -1500 & -1500 \end{array} \end{aligned}$$

Zatem $W_{\mathrm{cycle}}=+2000$ J, $Q_{\mathrm{cycle}}=-2000$ J oraz $\Delta U_{\mathrm{cycle}}=0$. Pobrane ciepło wynosi

$$Q_f=2500+4500=7000\ \mathrm{J},$$

natomiast ciepło oddane źródłom gorącym wynosi

$$Q_{\mathrm{chaud}}=7500+1500=9000\ \mathrm{J} =Q_f+W_{\mathrm{cycle}}.$$

Współczynnik efektywności chłodniczej wynosi zatem

$$\mathrm{COP}=\frac{7000}{2000}=3{,}5.$$