Rozwiązane zadanie z termodynamiki

Prostokątny cykl chłodniczy?

Ćwiczenie 23 · Lekcja 5 — Zastosowanie do gazu doskonałego

cykl termodynamiczny
cykl prostokątny
diagram Clapeyrona
praca
ciepło
pole
gaz doskonały
cykl chłodniczy
maszyna chłodnicza

Treść zadania

Rozważamy $n$ moli jednoatomowego gazu doskonałego, dla którego $U = \frac{3}{2} n R T$ , wykonującego quasi-statycznie prostokątny cykl w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara

A (P_{1}, V_{1}) \to B (P_{1}, V_{2}) \to C (P_{2}, V_{2}) \to D (P_{2}, V_{1}) \to A,

gdzie $V_{2} > V_{1}$ i $P_{2} > P_{1}$ . Oznaczmy

Δ P = P_{2} - P_{1} > 0, Δ V = V_{2} - V_{1} > 0.

Przedstawić cykl na diagramie Clapeyrona $(P, V)$ i określić rodzaj każdej gałęzi.
Obliczyć pracę otrzymaną na każdej z czterech gałęzi w funkcji $Δ V$ , gdy wielkość ta ulega zmianie, a następnie pracę całkowitą w funkcji $Δ P$ i $Δ V$ . Odtworzyć jej wartość na podstawie pola prostokąta.
Wyrazić $Δ U$ i $Q$ na każdej gałęzi w funkcji $P_{1}$ , $P_{2}$ , $V_{1}$ , $V_{2}$ , $Δ P$ i $Δ V$ , stosując $Δ P$ na izochorach oraz $Δ V$ na izobarach.
Sprawdzić, że $Δ U_{cycle} = 0$ i $Q_{cycle} = - W_{cycle}$ . Czy jest to obieg silnikowy, czy obieg pobierający pracę? Na których gałęziach gaz otrzymuje ciepło, a na których je oddaje? Wykazać, że całkowite ciepło oddane przez gaz, $Q_{out} > 0$ , jest równe całkowitemu ciepłu otrzymanemu, $Q_{in} > 0$ , powiększonemu o otrzymaną pracę $W_{cycle}$ .
Wyrazić temperatury $T_{A}$ , $T_{B}$ , $T_{C}$ i $T_{D}$ czterech wierzchołków. Która jest najniższa, a która najwyższa? Jak zmienia się temperatura gazu wzdłuż każdej gałęzi? W jakim zakresie temperatur gaz otrzymuje ciepło, a w jakim je oddaje?
Chcielibyśmy użyć tego cyklu jako chłodziarki: odbierać ciepło z zimnej komory i oddawać je cieplejszemu powietrzu w pomieszczeniu. Aby ciało otrzymywało ciepło, źródło, z którym się styka, musi być od niego cieplejsze. Jakie temperatury muszą mieć źródła dostarczające ciepło gazowi, a jakie źródła, które odbierają od niego ciepło? Czy ten cykl może działać jak chłodziarka?
Zastosowanie numeryczne: $P_{1} = 1, 0$ bar, $P_{2} = 3, 0$ bar, $V_{1} = 5, 0$ L oraz $V_{2} = 15, 0$ L. Obliczyć $W$ i $Q$ na każdej gałęzi, następnie $W_{cycle}$ , $Q_{in}$ oraz $Q_{out}$ . Na koniec obliczyć stosunki $T_{B} / T_{A}$ , $T_{C} / T_{A}$ i $T_{D} / T_{A}$ i sformułować wniosek.

Wskazówka

Na izochorze

n R Δ T = V Δ P

, a praca jest równa zeru. Na izobarze

n R Δ T = P Δ V

oraz

W = - P Δ V

. Każda funkcja stanu po zakończeniu cyklu powraca do wartości początkowej.

Szczegółowe rozwiązanie

Rozwiązanie

Pytanie 1. Punkty

A

B

C

D

znajdują się odpowiednio w lewym dolnym, prawym dolnym, prawym górnym i lewym górnym rogu. Gałęzie

A \to B

C \to D

są izobaryczne, natomiast

B \to C

D \to A

są izochoryczne. Cykl

A \to B \to C \to D \to A

przebiega przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

Rysunek 1. Prostokątny cykl złożony z izobar i izochor na diagramie Clapeyrona.

Pytanie 2. Praca otrzymana przez gaz wynosi

W = - \int P_{ext} d V .

Jest równa zeru na izochorach $B \to C$ i $D \to A$ . Na obu izobarach

W_{A B} = - P_{1} (V_{2} - V_{1}) = - P_{1} Δ V, W_{C D} = - P_{2} (V_{1} - V_{2}) = P_{2} Δ V .

Zatem

W_{cycle} = (- P_{1} + P_{2}) Δ V = Δ P Δ V > 0

Wartość ta jest równa polu prostokąta na diagramie Clapeyrona.

Pytanie 3. Dla jednoatomowego gazu doskonałego

Δ U = n c_{V} Δ T = \frac{3}{2} n R Δ T .

Na izobarze równanie stanu daje $n R Δ T = P Δ V_{branch}$ . W konsekwencji

Δ U_{A B} = \frac{3}{2} P_{1} Δ V, Δ U_{C D} = - \frac{3}{2} P_{2} Δ V .

Na izochorze daje ono $n R Δ T = V Δ P_{branch}$ , skąd

Δ U_{B C} = \frac{3}{2} V_{2} Δ P, Δ U_{D A} = - \frac{3}{2} V_{1} Δ P .

Wreszcie pierwsza zasada termodynamiki $Δ U = Q + W$ , czyli $Q = Δ U - W$ , prowadzi do następującej tabeli zbiorczej:

Ga łą \overset{z}{ˊ} A \to B B \to C C \to D D \to A W - P_{1} Δ V 0 P_{2} Δ V 0 Δ U \frac{3}{2} P_{1} Δ V \frac{3}{2} V_{2} Δ P - \frac{3}{2} P_{2} Δ V - \frac{3}{2} V_{1} Δ P Q = Δ U - W \frac{5}{2} P_{1} Δ V \frac{3}{2} V_{2} Δ P - \frac{5}{2} P_{2} Δ V - \frac{3}{2} V_{1} Δ P

Pytanie 4. Suma zmian energii wewnętrznej jest równa zeru, jak dla każdej funkcji stanu w cyklu. Pierwsza zasada daje więc

Q_{cycle} = - W_{cycle} = - Δ P Δ V < 0.

Gaz otrzymuje netto pracę: jest to obieg pobierający pracę. Zgodnie z tabelą gaz otrzymuje ciepło na $A \to B$ i $B \to C$ , a oddaje je na $C \to D$ i $D \to A$ :

Q_{in} = Q_{A B} + Q_{B C} = \frac{5}{2} P_{1} Δ V + \frac{3}{2} V_{2} Δ P, Q_{out} = - (Q_{C D} + Q_{D A}) = \frac{5}{2} P_{2} Δ V + \frac{3}{2} V_{1} Δ P .

Odejmując, przy $P_{2} - P_{1} = Δ P$ i $V_{2} - V_{1} = Δ V$ , otrzymujemy

Q_{out} - Q_{in} = \frac{5}{2} Δ P Δ V - \frac{3}{2} Δ P Δ V = Δ P Δ V = W_{cycle},

skąd

Q_{out} = Q_{in} + W_{cycle}

W ciągu cyklu gaz oddaje w postaci ciepła całą otrzymaną energię, zarówno ciepło, jak i pracę.

Pytanie 5. Z równania stanu

T = P V / (n R)

w każdym wierzchołku:

T_{A} = \frac{P _{1} V _{1}}{n R}, T_{B} = \frac{P _{1} V _{2}}{n R}, T_{C} = \frac{P _{2} V _{2}}{n R}, T_{D} = \frac{P _{2} V _{1}}{n R} .

Ponieważ $P_{1} < P_{2}$ i $V_{1} < V_{2}$ , iloczyn $P V$ jest najmniejszy w $A$ i największy w $C$ : $T_{A}$ jest najniższą temperaturą cyklu, $T_{C}$ najwyższą, a $T_{B}$ i $T_{D}$ są pośrednie.

Na izobarze

A \to B

objętość

V

rośnie przy stałym ciśnieniu, więc

T

rośnie od

T_{A}

T_{B}

. Na izochorze

B \to C

ciśnienie

P

rośnie przy stałej objętości, więc

T

rośnie od

T_{B}

T_{C}

. Podobnie

T

maleje od

T_{C}

T_{D}

C \to D

, a następnie od

T_{D}

T_{A}

D \to A

. Gaz otrzymuje więc ciepło, gdy jego temperatura rośnie od najniższej wartości

T_{A}

do najwyższej

T_{C}

, a oddaje je, gdy temperatura spada z powrotem od

T_{C}

T_{A}

. Pytanie 6. Aby otrzymywać ciepło, gaz musi stykać się ze źródłami co najmniej tak ciepłymi jak on sam; w granicy quasi-statycznej ich temperatura podąża za temperaturą gazu. Źródła dostarczające ciepło gazowi mają więc temperatury od

T_{A}

aż do

T_{C}

, najwyższej temperatury cyklu. Odwrotnie, źródła odbierające jego ciepło mają temperatury od

T_{C}

aż do

T_{A}

, najniższej temperatury cyklu. Nie ma więc rozdzielonej strony zimnej i gorącej: gaz pobiera ciepło z bardzo gorących źródeł i oddaje je bardzo zimnym. Ten cykl nie może służyć jako chłodziarka, która musi pobierać ciepło w najniższych temperaturach i oddawać je w najwyższych. Otrzymuje pracę i oddaje ją w całości w postaci ciepła (

Q_{cycle} = - W_{cycle}

), rozdzielając przy tym ciepło między źródła o różnych temperaturach. Chłodziarka musi natomiast pochłaniać ciepło w najzimniejszych częściach swojego cyklu i oddawać je w najcieplejszych. Tak jest w przypadku cyklu Carnota przebieganego w odwrotnym kierunku, omówionego w lekcji 6: gaz otrzymuje tam ciepło wzdłuż zimnej izotermy i oddaje je wzdłuż gorącej. To, że cykl pobiera pracę, nie wystarcza więc, by był cyklem chłodniczym. Pytanie 7. Tutaj

Δ P = 2, 0 \times 1 0^{5}

Pa oraz

Δ V = 1, 0 \times 1 0^{- 2}

^{3}

Ga łą \overset{z}{ˊ} A \to B B \to C C \to D D \to A W (J) - 1000 030000 Δ U (J) 15004500 - 4500 - 1500 Q (J) 25004500 - 7500 - 1500

Zatem $W_{cycle} = + 2000 J$ , $Q_{cycle} = - 2000 J$ oraz $Δ U_{cycle} = 0$ . Otrzymane ciepło wynosi $Q_{in} = 2500 + 4500 = 7000 J$ , a oddane $Q_{out} = 7500 + 1500 = 9000 J = Q_{in} + W_{cycle}$ . Stosunki temperatur nie zależą od $n$ :

\frac{T _{B}}{T _{A}} = \frac{V _{2}}{V _{1}} = 3, \frac{T _{C}}{T _{A}} = \frac{P _{2} V _{2}}{P _{1} V _{1}} = 9, \frac{T _{D}}{T _{A}} = \frac{P _{2}}{P _{1}} = 3.

Gdyby najniższa temperatura cyklu była temperaturą zimnej komory, na przykład $T_{A} = 270 K$ , gaz musiałby otrzymywać ciepło ze źródeł o temperaturze aż do $T_{C} = 9 T_{A} ≃ 2400 K$ . Taki cykl oczywiście nie chłodzi komory.