Rozwiązane zadanie z termodynamiki

Praca w przemianie politropowej $P V^{k} = const$

Ćwiczenie 22 · Lekcja 5 — Zastosowanie do gazu doskonałego

przemiana politropowa
praca sił ciśnienia
prawo Laplace'a

Treść zadania

Rozważamy quasi-statyczną przemianę gazu doskonałego spełniającą $P V^{k} = const$ , gdzie $k \in R$ i $k \neq = 1$ .

Obliczyć $W_{A \to B}$ w funkcji $P_{A}, V_{A}, P_{B}, V_{B}$ i $k$ .
Odtworzyć wynik dla przemiany izobarycznej ( $k = 0$ ).
Ile wynosi praca w przemianie izochorycznej (bez stosowania poprzedniego wzoru)?
Co dzieje się dla $k = 1$ ? Odtworzyć $W = - n R T ln (V_{B} / V_{A})$ .

Wskazówka

Przyjąć

P (V) = C V^{- k}

, gdzie

C = P_{A} V_{A}^{k}

, scałkować, a następnie zastosować

C V^{1 - k} = P V

Szczegółowe rozwiązanie

Rozwiązanie

Pytanie 1. Zależność politropowa ma postać

P V^{k} = C, P (V) = C V^{- k}, C = P_{A} V_{A}^{k} = P_{B} V_{B}^{k} .

Praca otrzymana przez gaz, przy zastosowaniu konwencji bankiera, wynosi

W_{A \to B} = - \int_{V_{A}}^{V_{B}} P (V) d V = - C \int_{V_{A}}^{V_{B}} V^{- k} d V .

Dla $k \neq = 1$ funkcją pierwotną $V^{- k}$ jest $V^{1 - k} / (1 - k)$ . Zatem

W_{A \to B} = - \frac{C}{1 - k} (V_{B}^{1 - k} - V_{A}^{1 - k}) = \frac{C V _{A}^{1 - k} - C V _{B}^{1 - k}}{1 - k} .

Ponadto

C V_{A}^{1 - k} = P_{A} V_{A}, C V_{B}^{1 - k} = P_{B} V_{B} .

Ostatecznie

W_{A \to B} = \frac{P _{A} V _{A} - P _{B} V _{B}}{1 - k} = \frac{P _{B} V _{B} - P _{A} V _{A}}{k - 1}

Pytanie 2. Dla $k = 0$ zależność $P V^{0} = C$ przyjmuje postać $P = C$ : przemiana jest izobaryczna. Ponieważ $P_{A} = P_{B} = P$ ,

W_{A \to B} = P_{A} V_{A} - P_{B} V_{B} = P (V_{A} - V_{B}) = - P (V_{B} - V_{A}) = - P Δ V .

Otrzymujemy bezpośredni wzór na pracę w przemianie izobarycznej.

Pytanie 3. Dla przemiany izochorycznej

V_{B} = V_{A}

i w każdej chwili

d V = 0

. W konsekwencji

W_{A \to B} = - \int_{A}^{B} P d V = 0.

Nietrywialna przemiana izochoryczna nie odpowiada żadnej skończonej wartości $k$ : jeśli $V$ jest stałe, zależność $P V^{k} = const$ wymuszałaby również stałość $P$ . Izochorę można jedynie traktować jako formalną granicę $k \to \infty$ .

Pytanie 4. Dla

k = 1

funkcja podcałkowa jest proporcjonalna do

1/ V

: funkcja pierwotna nie jest już funkcją potęgową, lecz logarytmem. Całkowanie trzeba więc przeprowadzić oddzielnie. Zależność politropowa przyjmuje postać

P V = C .

Dla zamkniętego gazu doskonałego $P V = n R T$ ; temperatura jest więc stała, a $C = n R T$ . Praca otrzymana wynosi wówczas

W_{A \to B} = - \int_{V_{A}}^{V_{B}} \frac{n R T}{V} d V = - n R T ln (\frac{V _{B}}{V _{A}}) .

Dla sprężania $V_{B} / V_{A} < 1$ , zatem logarytm jest ujemny i $W_{A \to B} > 0$ , zgodnie z oczekiwaniem.