Praca w przemianie politropowej $PV^k=\text{const}$

Pytanie 1. Zależność politropowa ma postać

$$PV^k=C, \qquad P(V)=CV^{-k}, \qquad C=P_AV_A^k=P_BV_B^k.$$

Praca otrzymana przez gaz, przy zastosowaniu konwencji bankiera, wynosi

$$W_{A\to B} =-\int_{V_A}^{V_B}P(V)\,\mathrm{d}V =-C\int_{V_A}^{V_B}V^{-k}\,\mathrm{d}V.$$

Dla $k\neq1$ funkcją pierwotną $V^{-k}$ jest $V^{1-k}/(1-k)$. Zatem

$$W_{A\to B} =-\frac{C}{1-k} \left(V_B^{1-k}-V_A^{1-k}\right) =\frac{CV_A^{1-k}-CV_B^{1-k}}{1-k}.$$

Ponadto

$$CV_A^{1-k}=P_AV_A, \qquad CV_B^{1-k}=P_BV_B.$$

Ostatecznie

$$\boxed{ W_{A\to B} =\frac{P_AV_A-P_BV_B}{1-k} =\frac{P_BV_B-P_AV_A}{k-1} }.$$

Pytanie 2. Dla $k=0$ zależność $PV^0=C$ przyjmuje postać $P=C$: przemiana jest izobaryczna. Ponieważ $P_A=P_B=P$,

$$W_{A\to B} =P_AV_A-P_BV_B =P(V_A-V_B) =-P(V_B-V_A) =-P\Delta V.$$

Otrzymujemy bezpośredni wzór na pracę w przemianie izobarycznej.

Pytanie 3. Dla przemiany izochorycznej $V_B=V_A$ i w każdej chwili $\mathrm{d}V=0$. W konsekwencji

$$W_{A\to B}=-\int_A^B P\,\mathrm{d}V=0.$$

Nietrywialna przemiana izochoryczna nie odpowiada żadnej skończonej wartości $k$: jeśli $V$ jest stałe, zależność $PV^k=\text{const}$ wymuszałaby również stałość $P$. Izochorę można jedynie traktować jako formalną granicę $k\to\infty$.

Pytanie 4. Dla $k=1$ funkcja podcałkowa jest proporcjonalna do $1/V$: funkcja pierwotna nie jest już funkcją potęgową, lecz logarytmem. Całkowanie trzeba więc przeprowadzić oddzielnie. Zależność politropowa przyjmuje postać

$$PV=C.$$

Dla zamkniętego gazu doskonałego $PV=nRT$; temperatura jest więc stała, a $C=nRT$. Praca otrzymana wynosi wówczas

$$W_{A\to B} =-\int_{V_A}^{V_B}\frac{nRT}{V}\,\mathrm{d}V =-nRT\ln\!\left(\frac{V_B}{V_A}\right).$$

Dla sprężania $V_B/V_A<1$, zatem logarytm jest ujemny i $W_{A\to B}>0$, zgodnie z oczekiwaniem.