Rozwiązane zadanie z termodynamiki

Sprężanie adiabatyczne: stopniowe czy gwałtowne

Ćwiczenie 24 · Lekcja 5 — Zastosowanie do gazu doskonałego

sprężanie adiabatyczne
przemiana odwracalna
przemiana nieodwracalna
stałe ciśnienie zewnętrzne
praca

Treść zadania

To zadanie jest nie tylko wielkim klasykiem: ma również fundamentalne znaczenie dla wykazania jednej z różnic między przemianą odwracalną a przemianą nieodwracalną (zob. także lekcja 6).

Rozważamy $n$ moli gazu doskonałego o stałych pojemnościach cieplnych i stosunku $γ = c_{P} / c_{V} > 1$ , zamkniętych w pionowym, izolowanym cieplnie cylindrze o przekroju $S$ , zamkniętym izolowanym cieplnie tłokiem o pomijalnej masie, poruszającym się bez tarcia. Na zewnątrz panuje ciśnienie atmosferyczne $P_{0}$ , które działa na górną powierzchnię tłoka. W początkowym stanie równowagi ciśnienie gazu jest więc również równe $P_{0}$ , a jego stan ma postać

A = (P_{0}, V_{0}, T_{0}) .

Dysponujemy dodatkowym obciążeniem o całkowitej masie $M$ . Gdy zostanie ono w całości umieszczone na tłoku, ciśnienie zewnętrzne wynosi

P_{1} = P_{0} + \frac{M g}{S} = x P_{0}, x > 1.

Porównujemy dwa doświadczenia: albo masa $M$ zostaje podzielona na dużą liczbę małych ciężarków, dodawanych kolejno po osiągnięciu każdego nowego stanu równowagi, albo cała masa $M$ zostaje położona jednocześnie. Następnie dodatkowe obciążenie usuwamy w ten sam sposób: albo ziarnko piasku po ziarnku, albo w całości jednocześnie.

Oba doświadczenia rozpoczynają się w tym samym stanie początkowym A, przedstawionym pośrodku: na tłok działa wtedy jedynie ciśnienie atmosferyczne P_0. Po lewej stronie dodatkowe obciążenie o całkowitej masie M jest nakładane ziarnko piasku po ziarnku, tak że P_ ext rośnie stopniowo; usuwając je w ten sam sposób, przebywa się tę drogę w przeciwnym kierunku. Po prawej stronie ta sama masa M jest nakładana jednocześnie: P_ ext zmienia się gwałtownie z P_0 na P_1. W obu doświadczeniach ze sprężaniem P_1=P_0+Mg/ S=xP_0. — Rysunek 1. Oba doświadczenia rozpoczynają się w tym samym stanie początkowym $A$ , przedstawionym pośrodku: na tłok działa wtedy jedynie ciśnienie atmosferyczne $P_{0}$ . Po lewej stronie dodatkowe obciążenie o całkowitej masie $M$ jest nakładane ziarnko piasku po ziarnku, tak że $P_{ext}$ rośnie stopniowo; usuwając je w ten sam sposób, przebywa się tę drogę w przeciwnym kierunku. Po prawej stronie ta sama masa $M$ jest nakładana jednocześnie: $P_{ext}$ zmienia się gwałtownie z $P_{0}$ na $P_{1}$ . W obu doświadczeniach ze sprężaniem $P_{1} = P_{0} + M g / S = x P_{0}$ .

Dodatkowe obciążenie jest nakładane bardzo stopniowo, tak że ciśnienie zewnętrzne powoli zmienia się z $P_{0}$ na $P_{1}$ . Uzasadnić, że w każdej chwili ciśnienie $P$ gazu jest równe ciśnieniu zewnętrznemu $P_{ext}$ . Jakiego prawa można wówczas użyć do powiązania kolejnych stanów gazu? Wyznaczyć stąd $P_{B} / P_{0}$ , $T_{B} / T_{0}$ i $V_{B} / V_{0}$ w funkcji $x$ i $γ$ .
Rozpoczynamy teraz od stanu $B$ i bardzo stopniowo usuwamy dodatkowe obciążenie, ziarnko piasku po ziarnku, aż ciśnienie zewnętrzne ponownie osiągnie wartość $P_{0}$ . Korzystając z tego samego prawa co w poprzednim pytaniu, wykazać, że gaz powraca dokładnie do swojego stanu początkowego $A$ .
Ponownie rozpoczynamy od $A$ i tym razem kładziemy całą masę $M$ jednocześnie: ciśnienie zewnętrzne gwałtownie przyjmuje stałą wartość $P_{1}$ . Wyznaczyć w pełni stan końcowy $B^{'}$ oraz $W_{A B^{'}}$ , $Q_{A B^{'}}$ i $Δ U_{A B^{'}}$ .
Najpierw przyjąć przykład $γ = 5/3$ i $x = 2$ , aby porównać numerycznie $T_{B^{'}}$ z $T_{B}$ . Następnie przeprowadzić porównanie analityczne dla dowolnych $γ > 1$ i $x > 1$ , po czym porównać $V_{B^{'}}$ z $V_{B}$ . Które z dwóch sprężań bardziej ogrzewa gaz, a które silniej go spręża?
Począwszy od $B^{'}$ , gwałtownie usuwamy całe dodatkowe obciążenie: ciśnienie zewnętrzne ponownie staje się równe ciśnieniu atmosferycznemu $P_{0}$ . Wyznaczyć stan końcowy $B^{''}$ . Wykazać, czy $T_{B^{''}}$ i $V_{B^{''}}$ są większe, czy mniejsze od swoich wartości początkowych.
Sporządzić bilans energetyczny przemiany tam i z powrotem $A \to B^{'} \to B^{''}$ . Wyjaśnić, co lekcja 6 wniesie do tego porównania.

Wskazówka

Dla przemiany gwałtownej zastosować

W = - P_{ext} (V_{f} - V_{i})

oraz równanie stanu wyłącznie w początkowym i końcowym stanie równowagi. Aby porównać

B

B^{'}

, można zbadać logarytm stosunku

T_{B^{'}} / T_{B}

Szczegółowe rozwiązanie

Rozwiązanie

Przypomnijmy, że

c_{V} = \frac{R}{γ - 1}

. Pytanie 1. Dodatkowe obciążenie jest podzielone na dostatecznie małe ciężarki, a każdy nowy stan równowagi zostaje osiągnięty przed dodaniem kolejnego: gaz przechodzi więc przez ciągłą sekwencję stanów równowagi: przemiana jest quasi-statyczna. Ponieważ tłok ma pomijalną masę i porusza się bez tarcia, równowaga mechaniczna w każdej chwili wymaga

P S = P_{ext} S

, czyli

P = P_{ext}

. Ścianki są izolowane cieplnie, zatem

δ Q = 0

. W tych warunkach można więc zastosować prawa Laplace'a. Dwie użyteczne postacie między

A

B

P_{0} V_{0}^{γ} = P_{B} V_{B}^{γ}, T_{0}^{γ} P_{0}^{1 - γ} = T_{B}^{γ} P_{B}^{1 - γ} .

Ponieważ $P_{B} = P_{1} = x P_{0}$ , pierwsza zależność daje bezpośrednio $V_{B} / V_{0} = x^{- 1/ γ}$ , natomiast druga daje $T_{B} / T_{0} = x^{(γ - 1) / γ}$ . Ostatecznie $P_{B} / P_{0} = x$ , $T_{B} / T_{0} = x^{(γ - 1) / γ}$ i $V_{B} / V_{0} = x^{- 1/ γ}$ .

Pytanie 2. Podczas stopniowego usuwania dodatkowego obciążenia gaz pozostaje w równowadze mechanicznej z otoczeniem i przebywa tę samą adiabatę Laplace'a, lecz w przeciwnym kierunku. Na końcu

P_{f} = P_{0}

. Z praw Laplace'a wynika wówczas

T_{f} = T_{B} (\frac{P _{0}}{P _{1}})^{(γ - 1) / γ} = T_{0} x^{(γ - 1) / γ} x^{- (γ - 1) / γ} = T_{0},

oraz

V_{f} = V_{B} (\frac{P _{1}}{P _{0}})^{1/ γ} = V_{0} x^{- 1/ γ} x^{1/ γ} = V_{0} .

Gaz powraca więc dokładnie do stanu $A = (P_{0}, V_{0}, T_{0})$ . Przemianę można przebyć w obu kierunkach przez tę samą sekwencję stanów równowagi: mówimy, że przemiana jest odwracalna.

Pytanie 3. Nie należy stosować praw Laplace'a: podczas tej gwałtownej przemiany gaz nie przechodzi przez sekwencję stanów równowagi. W trakcie przemiany w wyrażeniu na pracę występuje wyłącznie stałe ciśnienie zewnętrzne

P_{1}

W_{A B^{'}} = - P_{1} (V_{B^{'}} - V_{0})

. W końcowym stanie równowagi

P_{B^{'}} = P_{1}

. Korzystając z

P_{0} V_{0} = n R T_{0}

P_{1} V_{B^{'}} = n R T_{B^{'}}

Q_{A B^{'}} = 0

Δ U_{A B^{'}} = n c_{V} (T_{B^{'}} - T_{0})

, z pierwszej zasady termodynamiki otrzymujemy

T_{B^{'}} = T_{0} \frac{1 + ( γ - 1 ) x}{γ} .

Przyjmijmy

θ = \frac{1 + ( γ - 1 ) x}{γ} .

Wówczas

P_{B^{'}} = x P_{0}, T_{B^{'}} = θ T_{0}, V_{B^{'}} = \frac{θ}{x} V_{0} .

Pytanie 4. Zacznijmy od przykładu $γ = 5/3$ i $x = 2$ . Dla sprężania stopniowego $T_{B} / T_{0} = 2^{2/5} ≃ 1, 32$ , natomiast dla sprężania gwałtownego

T_{B^{'}} / T_{0} = θ = [1 + (2/3) \times 2] / (5/3) = 7/5 = 1, 40.

W tym przykładzie sprężanie gwałtowne bardziej ogrzewa więc gaz. Wykażmy, że wynik ten jest ogólny. Przyjmijmy

f (x) = ln (\frac{T _{B^{'}}}{T _{B}}) = ln (\frac{1 + ( γ - 1 ) x}{γ}) - \frac{γ - 1}{γ} ln x .

Mamy $f (1) = 0$ oraz

f^{'} (x) = \frac{γ - 1}{1 + ( γ - 1 ) x} - \frac{γ - 1}{γ x} = \frac{( γ - 1 ) ( x - 1 )}{γ x [ 1 + ( γ - 1 ) x ]}

Dla $γ > 1$ i $x > 1$ wszystkie czynniki w mianowniku są dodatnie, a $f^{'} (x) > 0$ . Zatem $f (x) > f (1) = 0$ , czyli $T_{B^{'}} / T_{B} > 1$ , a więc $T_{B^{'}} > T_{B}$ . Oba stany mają to samo ciśnienie $P_{1}$ ; równanie gazu doskonałego wymaga więc również $V_{B^{'}} > V_{B}$ . Sprężanie gwałtowne bardziej ogrzewa gaz, lecz spręża go słabiej niż sprężanie stopniowe.

Pytanie 5. Gwałtowne usunięcie dodatkowego obciążenia zmienia ciśnienie zewnętrzne z

P_{1}

P_{0} = P_{1} / x

. Powtarzamy więc obliczenia z pytania 3, zastępując stosunek ciśnień

x

jego odwrotnością

1/ x

. Wynik z pytania 3 przyjmuje wówczas postać

\frac{T _{B^{''}}}{T _{B^{'}}} = \frac{1 + ( γ - 1 ) P _{0} / P _{1}}{γ} = \frac{1 + ( γ - 1 ) / x}{γ} .

Przyjmując

φ = \frac{1 + ( γ - 1 ) / x}{γ},

otrzymujemy

P_{B^{''}} = P_{0}, T_{B^{''}} = θ φ T_{0}, V_{B^{''}} = θ φ V_{0} .

Tymczasem

θ φ - 1 = \frac{γ - 1}{γ ^{2}} (x + \frac{1}{x} - 2) .

W rozpatrywanym przypadku $x > 1$ , zatem $x > 0$ oraz $x + 1/ x - 2 = (x - 1)^{2} / x > 0$ . Ponieważ $γ > 1$ , mamy istotnie $θ φ - 1 > 0$ . W konsekwencji

T_{B^{''}} > T_{0} V_{B^{''}} > V_{0}

Po zmianie ciśnienia zewnętrznego tam i z powrotem gaz nie powraca więc do stanu $A$ . Ta różnica jest pierwszą oznaką nieodwracalności: przywrócenie więzu zewnętrznego do jego wartości początkowej nie wystarcza, aby przywrócić układ do stanu początkowego.

Pytanie 6. Gwałtowne rozprężanie jest adiabatyczne, zatem dla całej przemiany tam i z powrotem

Q_{tot} = 0, W_{tot} = Δ U_{tot} = n c_{V} T_{0} (θ φ - 1) > 0.

W wyniku działań zewnętrznych ciśnienie powraca do wartości początkowej, lecz gaz otrzymał pracę netto i pozostaje cieplejszy oraz bardziej rozprężony. W lekcji 6 te same stany zostaną ponownie rozpatrzone, aby wykazać, że sprężanie odwracalne nie powoduje produkcji entropii, natomiast każda z dwóch gwałtownych przemian ją powoduje.