Treść zadania

To zadanie jest nie tylko wielkim klasykiem: ma również fundamentalne znaczenie dla wykazania jednej z różnic między przemianą odwracalną a przemianą nieodwracalną (zob. także lekcja 6).

Rozważamy $n$ moli gazu doskonałego o stałych pojemnościach cieplnych i stosunku $\gamma=c_P/c_V>1$ , zamkniętych w pionowym, izolowanym cieplnie cylindrze o przekroju $\mathcal S$ , zamkniętym izolowanym cieplnie tłokiem o pomijalnej masie, poruszającym się bez tarcia. Na zewnątrz panuje ciśnienie atmosferyczne $P_0$ , które działa na górną powierzchnię tłoka. W początkowym stanie równowagi ciśnienie gazu jest więc również równe $P_0$ , a jego stan ma postać

A=(P_0,V_0,T_0).

Dysponujemy dodatkowym obciążeniem o całkowitej masie $M$ . Gdy zostanie ono w całości umieszczone na tłoku, ciśnienie zewnętrzne wynosi

P_1=P_0+\frac{Mg}{\mathcal S}=xP_0, \qquad x>1.

Porównujemy dwa doświadczenia: albo masa $M$ zostaje podzielona na dużą liczbę małych ciężarków, dodawanych kolejno po osiągnięciu każdego nowego stanu równowagi, albo cała masa $M$ zostaje położona jednocześnie. Następnie dodatkowe obciążenie usuwamy w ten sam sposób: albo ziarnko piasku po ziarnku, albo w całości jednocześnie.

Oba doświadczenia rozpoczynają się w tym samym stanie początkowym A, przedstawionym pośrodku: na tłok działa wtedy jedynie ciśnienie atmosferyczne P_0. Po lewej stronie dodatkowe obciążenie o całkowitej masie M jest nakładane ziarnko piasku po ziarnku, tak że P_ ext rośnie stopniowo; usuwając je w ten sam sposób, przebywa się tę drogę w przeciwnym kierunku. Po prawej stronie ta sama masa M jest nakładana jednocześnie: P_ ext zmienia się gwałtownie z P_0 na P_1. W obu doświadczeniach ze sprężaniem P_1=P_0+Mg/ S=xP_0. — Rysunek 1. Oba doświadczenia rozpoczynają się w tym samym stanie początkowym $A$ , przedstawionym pośrodku: na tłok działa wtedy jedynie ciśnienie atmosferyczne $P_0$ . Po lewej stronie dodatkowe obciążenie o całkowitej masie $M$ jest nakładane ziarnko piasku po ziarnku, tak że $P_{\mathrm{ext}}$ rośnie stopniowo; usuwając je w ten sam sposób, przebywa się tę drogę w przeciwnym kierunku. Po prawej stronie ta sama masa $M$ jest nakładana jednocześnie: $P_{\mathrm{ext}}$ zmienia się gwałtownie z $P_0$ na $P_1$ . W obu doświadczeniach ze sprężaniem $P_1=P_0+Mg/\mathcal S=xP_0$ .

Dodatkowe obciążenie jest nakładane bardzo stopniowo, tak że ciśnienie zewnętrzne powoli zmienia się z $P_0$ na $P_1$ . Uzasadnić, że w każdej chwili ciśnienie $P$ gazu jest równe ciśnieniu zewnętrznemu $P_{\mathrm{ext}}$ . Jakiego prawa można wówczas użyć do powiązania kolejnych stanów gazu? Wyznaczyć stąd $P_B/P_0$ , $T_B/T_0$ i $V_B/V_0$ w funkcji $x$ i $\gamma$ .
Rozpoczynamy teraz od stanu $B$ i bardzo stopniowo usuwamy dodatkowe obciążenie, ziarnko piasku po ziarnku, aż ciśnienie zewnętrzne ponownie osiągnie wartość $P_0$ . Korzystając z tego samego prawa co w poprzednim pytaniu, wykazać, że gaz powraca dokładnie do swojego stanu początkowego $A$ .
Ponownie rozpoczynamy od $A$ i tym razem kładziemy całą masę $M$ jednocześnie: ciśnienie zewnętrzne gwałtownie przyjmuje stałą wartość $P_1$ . Wyznaczyć w pełni stan końcowy $B'$ oraz $W_{AB'}$ , $Q_{AB'}$ i $\Delta U_{AB'}$ .
Najpierw przyjąć przykład $\gamma=5/3$ i $x=2$ , aby porównać numerycznie $T_{B'}$ z $T_B$ . Następnie przeprowadzić porównanie analityczne dla dowolnych $\gamma>1$ i $x>1$ , po czym porównać $V_{B'}$ z $V_B$ . Które z dwóch sprężań bardziej ogrzewa gaz, a które silniej go spręża?
Począwszy od $B'$ , gwałtownie usuwamy całe dodatkowe obciążenie: ciśnienie zewnętrzne ponownie staje się równe ciśnieniu atmosferycznemu $P_0$ . Wyznaczyć stan końcowy $B"$ . Wykazać, czy $T_{B"}$ i $V_{B"}$ są większe, czy mniejsze od swoich wartości początkowych.
Sporządzić bilans energetyczny przemiany tam i z powrotem $A\to B'\to B"$ . Wyjaśnić, co lekcja 6 wniesie do tego porównania.

Wskazówka

Dla przemiany gwałtownej zastosować

W=-P_{\mathrm{ext}}(V_f-V_i)

oraz równanie stanu wyłącznie w początkowym i końcowym stanie równowagi. Aby porównać

B

i

B'

, można zbadać logarytm stosunku

T_{B'}/T_B

.

Szczegółowe rozwiązanie

Rozwiązanie

Przypomnijmy, że

c_V=\frac{R}{\gamma-1}

.

Pytanie 1. Dodatkowe obciążenie jest podzielone na dostatecznie małe ciężarki, a każdy nowy stan równowagi zostaje osiągnięty przed dodaniem kolejnego: gaz przechodzi więc przez ciągłą sekwencję stanów równowagi: przemiana jest quasi-statyczna. Ponieważ tłok ma pomijalną masę i porusza się bez tarcia, równowaga mechaniczna w każdej chwili wymaga $P\mathcal S=P_{\mathrm{ext}}\mathcal S$ , czyli $P=P_{\mathrm{ext}}$ . Ścianki są izolowane cieplnie, zatem $\delta Q=0$ . W tych warunkach można więc zastosować prawa Laplace'a. Dwie użyteczne postacie między $A$ i $B$ to

P_0V_0^\gamma=P_BV_B^\gamma, \qquad T_0^\gamma P_0^{1-\gamma}=T_B^\gamma P_B^{1-\gamma}.

Ponieważ $P_B=P_1=xP_0$ , pierwsza zależność daje bezpośrednio $V_B/V_0=x^{-1/\gamma}$ , natomiast druga daje $T_B/T_0=x^{(\gamma-1)/\gamma}$ . Ostatecznie $P_B/P_0=x$ , $T_B/T_0=x^{(\gamma-1)/\gamma}$ i $V_B/V_0=x^{-1/\gamma}$ .

Pytanie 2. Podczas stopniowego usuwania dodatkowego obciążenia gaz pozostaje w równowadze mechanicznej z otoczeniem i przebywa tę samą adiabatę Laplace'a, lecz w przeciwnym kierunku. Na końcu $P_f=P_0$ . Z praw Laplace'a wynika wówczas

T_f =T_B\left(\frac{P_0}{P_1}\right)^{(\gamma-1)/\gamma} =T_0x^{(\gamma-1)/\gamma}x^{-(\gamma-1)/\gamma} =T_0,

oraz

V_f =V_B\left(\frac{P_1}{P_0}\right)^{1/\gamma} =V_0x^{-1/\gamma}x^{1/\gamma} =V_0.

Gaz powraca więc dokładnie do stanu $A=(P_0,V_0,T_0)$ . Przemianę można przebyć w obu kierunkach przez tę samą sekwencję stanów równowagi: mówimy, że przemiana jest odwracalna.

Pytanie 3. Nie należy stosować praw Laplace'a: podczas tej gwałtownej przemiany gaz nie przechodzi przez sekwencję stanów równowagi. W trakcie przemiany w wyrażeniu na pracę występuje wyłącznie stałe ciśnienie zewnętrzne $P_1$ : $W_{AB'}=-P_1(V_{B'}-V_0)$ . W końcowym stanie równowagi $P_{B'}=P_1$ . Korzystając z $P_0V_0=nRT_0$ , $P_1V_{B'}=nRT_{B'}$ , $Q_{AB'}=0$ i $\Delta U_{AB'}=nc_V(T_{B'}-T_0)$ , z pierwszej zasady termodynamiki otrzymujemy

T_{B'}=T_0\frac{1+(\gamma-1)x}{\gamma}.

Przyjmijmy

\theta=\frac{1+(\gamma-1)x}{\gamma}.

Wówczas

P_{B'}=xP_0, \qquad T_{B'}=\theta T_0, \qquad V_{B'}=\frac{\theta}{x}V_0.

Pytanie 4. Zacznijmy od przykładu $\gamma=5/3$ i $x=2$ . Dla sprężania stopniowego $T_B/T_0=2^{2/5}\simeq1{,}32$ , natomiast dla sprężania gwałtownego

T_{B'}/T_0=\theta=[1+(2/3)\times2]/(5/3)=7/5=1{,}40.

W tym przykładzie sprężanie gwałtowne bardziej ogrzewa więc gaz. Wykażmy, że wynik ten jest ogólny. Przyjmijmy

f(x)=\ln\!\left(\frac{T_{B'}}{T_B}\right) =\ln\!\left(\frac{1+(\gamma-1)x}{\gamma}\right) -\frac{\gamma-1}{\gamma}\ln x.

Mamy $f(1)=0$ oraz

f'(x) =\frac{\gamma-1}{1+(\gamma-1)x} -\frac{\gamma-1}{\gamma x} =\frac{(\gamma-1)(x-1)} {\gamma x\,[1+(\gamma-1)x]}

Dla $\gamma>1$ i $x>1$ wszystkie czynniki w mianowniku są dodatnie, a $f'(x)>0$ . Zatem $f(x)>f(1)=0$ , czyli $T_{B'}/T_B>1$ , a więc $T_{B'}>T_B$ . Oba stany mają to samo ciśnienie $P_1$ ; równanie gazu doskonałego wymaga więc również $V_{B'}>V_B$ . Sprężanie gwałtowne bardziej ogrzewa gaz, lecz spręża go słabiej niż sprężanie stopniowe.

Pytanie 5. Gwałtowne usunięcie dodatkowego obciążenia zmienia ciśnienie zewnętrzne z $P_1$ na $P_0=P_1/x$ . Powtarzamy więc obliczenia z pytania 3, zastępując stosunek ciśnień $x$ jego odwrotnością $1/x$ . Wynik z pytania 3 przyjmuje wówczas postać

\frac{T_{B"}}{T_{B'}} =\frac{1+(\gamma-1)P_0/P_1}{\gamma} =\frac{1+(\gamma-1)/x}{\gamma}.

Przyjmując

\phi=\frac{1+(\gamma-1)/x}{\gamma},

otrzymujemy

P_{B"}=P_0, \qquad T_{B"}=\theta\phi\,T_0, \qquad V_{B"}=\theta\phi\,V_0.

Tymczasem

\theta\phi-1 =\frac{\gamma-1}{\gamma^2} \left(x+\frac1x-2\right).

W rozpatrywanym przypadku $x>1$ , zatem $x>0$ oraz $x+1/x-2=(x-1)^2/x>0$ . Ponieważ $\gamma>1$ , mamy istotnie $\theta\phi-1>0$ . W konsekwencji

\boxed{T_{B"}>T_0}, \qquad \boxed{V_{B"}>V_0}.

Po zmianie ciśnienia zewnętrznego tam i z powrotem gaz nie powraca więc do stanu $A$ . Ta różnica jest pierwszą oznaką nieodwracalności: przywrócenie więzu zewnętrznego do jego wartości początkowej nie wystarcza, aby przywrócić układ do stanu początkowego.

Pytanie 6. Gwałtowne rozprężanie jest adiabatyczne, zatem dla całej przemiany tam i z powrotem

Q_{\mathrm{tot}}=0, \qquad W_{\mathrm{tot}}=\Delta U_{\mathrm{tot}} =nc_VT_0(\theta\phi-1)>0.

W wyniku działań zewnętrznych ciśnienie powraca do wartości początkowej, lecz gaz otrzymał pracę netto i pozostaje cieplejszy oraz bardziej rozprężony. W lekcji 6 te same stany zostaną ponownie rozpatrzone, aby wykazać, że sprężanie odwracalne nie powoduje produkcji entropii, natomiast każda z dwóch gwałtownych przemian ją powoduje.