Rozwiązane zadanie z termodynamiki

Ogrzewanie pod stałym ciśnieniem: wyznaczenie $c_{P}$

Ćwiczenie 21 · Lekcja 5 — Zastosowanie do gazu doskonałego

pojemność cieplna
stałe ciśnienie
relacja Mayera
ogrzewanie izobaryczne
gaz doskonały

Treść zadania

Jeden mol gazu doskonałego o molowej pojemności cieplnej $c_{V}$ jest zamknięty w cylindrze o objętości początkowej $V_{0}$ . Cylinder jest zamknięty ruchomym, pozbawionym tarcia i adiabatycznym tłokiem, na który działa stałe ciśnienie zewnętrzne $P_{0}$ . Znajdujący się wewnątrz gazu opornik elektryczny dostarcza mu quasi-statycznie ciepło $Q > 0$ .

Wykonać prosty schemat układu. Zaznaczyć gaz, tłok, opornik, ciśnienie zewnętrzne $P_{0}$ i przekazy energii.
Bez użycia wartości liczbowych wyrazić temperaturę początkową $T_{0}$ , a następnie wyznaczyć stan końcowy $(P_{f}, V_{f}, T_{f})$ , pracę $W$ otrzymaną przez gaz oraz zmianę jego energii wewnętrznej $Δ U$ .
Wyznaczyć molową pojemność cieplną przy stałym ciśnieniu $c_{P} = (δ Q / d T)_{P}$ w funkcji $c_{V}$ i $R$ .
Zastosowanie numeryczne dla jednoatomowego gazu doskonałego: $c_{V} = \frac{3}{2} R$ , $V_{0} = 25 L$ , $P_{0} = 1, 0 \times 1 0^{5} Pa$ , $Q = 1000 J$ oraz $R = 8, 314 J mo l^{- 1} K^{- 1}$ .

Wskazówka

Przemiana jest izobaryczna:

W = - P_{0} Δ V

. Dla jednego mola gazu doskonałego

P_{0} Δ V = R Δ T

. Podstawić te zależności do pierwszej zasady termodynamiki.

Szczegółowe rozwiązanie

Rozwiązanie

Pytanie 1. Schemat powinien przedstawiać gaz w cylindrze zamkniętym ruchomym tłokiem. Strzałka wewnątrz cylindra przedstawia ciepło

Q

dostarczane przez opornik. Ciśnienie zewnętrzne

P_{0}

działa na tłok, który podczas rozprężania gazu przesuwa się ku górze. Pytanie 2. Równanie stanu początkowego daje

T_{0} = \frac{P _{0} V _{0}}{R} .

Ciśnienie pozostaje stałe, zatem $P_{f} = P_{0}$ . Ponadto $W = - P_{0} Δ V = - R Δ T$ . Pierwsza zasada termodynamiki daje więc

Δ U = c_{V} Δ T = Q + W = Q - R Δ T,

skąd

Δ T = \frac{Q}{c _{V} + R} .

Stan końcowy ma zatem postać

P_{f} = P_{0}, T_{f} = T_{0} + \frac{Q}{c _{V} + R}, V_{f} = V_{0} + \frac{R Q}{P _{0} ( c _{V} + R )} .

Wreszcie

W = - \frac{R Q}{c _{V} + R}, Δ U = \frac{c _{V} Q}{c _{V} + R} .

Pytanie 3. Ponieważ przy stałym ciśnieniu $Q = (c_{V} + R) Δ T$ ,

c_{P} = c_{V} + R .

Jest to relacja Mayera.

Pytanie 4. Dla gazu jednoatomowego

c_{P} = \frac{5}{2} R ≃ 20, 8 J mo l^{- 1} K^{- 1} .

Otrzymujemy

T_{0} ≃ 301 K, Δ T ≃ 48, 1 K, T_{f} ≃ 349 K, V_{f} = 29, 0 L .

Wreszcie

W = - 400 J, Δ U = 600 J .