Treść zadania

Rozważamy $n$ moli gazu doskonałego o stałej molowej pojemności cieplnej $c_V$ , wykonującego quasi-statyczny cykl $A\to B\to C\to A$ , gdzie

A=(P_0,V_0), \qquad B=(2P_0,V_0), \qquad C=(P_0,2V_0).

Gałąź $A\to B$ jest izochoryczna, gałąź $B\to C$ jest odcinkiem prostej w płaszczyźnie $(P,V)$ , a gałąź $C\to A$ jest izobaryczna.

Dla cyklu silnika cieplnego sprawność jest zdefiniowana jako

\eta=\frac{W_{\mathrm{fourni}}}{Q_{\mathrm{in}}} =\frac{-W_{\mathrm{cycle}}}{Q_{\mathrm{in}}},

gdzie $Q_{\mathrm{in}}$ jest sumą elementarnych przekazów ciepła $\delta Q>0$ otrzymanych przez gaz w ciągu cyklu.

Przedstawić cykl na diagramie Clapeyrona i określić kierunek jego obiegu. Czy jest to cykl silnika cieplnego, czy cykl chłodniczy?
Wyznaczyć równanie $P(V)$ prostej łączącej $B$ z $C$ .
Przyjmując $T_0=P_0V_0/(nR)$ , wyznaczyć temperatury $T_A$ , $T_B$ i $T_C$ . Dlaczego $\Delta U_{B\to C}$ jest równa zeru, mimo że gałąź ta nie jest izotermiczna?
Obliczyć pracę otrzymaną na każdej z trzech gałęzi, a następnie w całym cyklu. Wyznaczyć ponownie wartość bezwzględną pracy całkowitej na podstawie pola trójkąta.
Obliczyć $\Delta U$ i $Q$ na każdej gałęzi wyłącznie w funkcji $P_0$ , $V_0$ i $c_V$ , a następnie sprawdzić, że $\Delta U_{\mathrm{cycle}}=0$ i $Q_{\mathrm{cycle}}=-W_{\mathrm{cycle}}$ .
Przyjmując $a = \frac{c_V}{R} >1$ i $x = V/V_0$ , wykazać, że znak $\delta Q$ zmienia się w pewnym punkcie gałęzi $B\to C$ . Wyznaczyć stąd $Q_{\mathrm{in}}$ , a następnie sprawność $\eta$ tego cyklu. Podać jej wartość dla jednoatomowego gazu doskonałego, dla którego $c_V=\frac32R$ .

Wskazówka

Na gałęzi

B\to C

przyjąć

P(V)=aV+b

i nałożyć warunek przechodzenia przez

B

i

C

. Do obliczenia zmiany energii wewnętrznej wystarczą temperatury na końcach gałęzi. W pytaniu 6 zastosować pierwszą zasadę termodynamiki w postaci różniczkowej.

Szczegółowe rozwiązanie

Rozwiązanie

Pytania 1—2. Cykl przebiega zgodnie z ruchem wskazówek zegara: jest to cykl silnika cieplnego. Równanie prostej

B\to C

ma postać

P(V)=P_0\left(3-\frac{V}{V_0}\right).

Cykl trójkątny A B C A na diagramie Clapeyrona. — Rysunek 1. Cykl trójkątny $A\to B\to C\to A$ na diagramie Clapeyrona.

Pytanie 3. Równanie stanu daje

T_A=T_0, \qquad T_B=T_C=2T_0.

Temperatura zmienia się wzdłuż $B\to C$ , lecz na obu końcach tej gałęzi ma tę samą wartość. Ponieważ energia wewnętrzna gazu doskonałego przy ustalonej ilości substancji zależy wyłącznie od temperatury, $\Delta U_{B\to C}=0$ .

Pytanie 4. Prace otrzymane wynoszą

W_{AB}=0, \qquad W_{BC}=-\int_{V_0}^{2V_0}P(V)\,dV=-\frac32P_0V_0, \qquad W_{CA}=-P_0 \Delta V = P_0V_0.

Zatem

\boxed{W_{\mathrm{cycle}}=-\frac12P_0V_0}.

Znak jest ujemny: w ciągu cyklu gaz wykonuje pracę. Jej wartość bezwzględna jest równa polu trójkąta o podstawie $V_0$ i wysokości $P_0$ , zgodnie ze wzorem $A=\frac12\text{podstawa}\times\text{wysokość}$ dla trójkąta prostokątnego.

Pytanie 5. Ponieważ $nRT_0=P_0V_0$ ,

\begin{aligned} \begin{array}{c|c|c|c} \text{Gałąź} & W & \Delta U & Q=\Delta U-W\\ \hline A\to B & 0 & \dfrac{c_V}{R}P_0V_0 & \dfrac{c_V}{R}P_0V_0\\[4pt] B\to C & -\dfrac32P_0V_0 & 0 & \dfrac32P_0V_0\\[4pt] C\to A & P_0V_0 & -\dfrac{c_V}{R}P_0V_0 & -\left(\dfrac{c_V}{R}+1\right)P_0V_0 \end{array} \end{aligned}

Sumując trzy gałęzie, otrzymujemy

\boxed{ \Delta U_{\mathrm{cycle}}=0, \qquad Q_{\mathrm{cycle}}=\frac12P_0V_0=-W_{\mathrm{cycle}}. }

Pytanie 6. Przyjmijmy $a=c_V/R$ i $x=V/V_0$ . Na gałęzi $B\to C$ , $P=P_0(3-x)$ i $T=T_0(3x-x^2)$ . Pierwsza zasada termodynamiki daje

\delta Q=\mathrm{d}U-\delta W =P_0V_0\left[3(a+1)-(2a+1)x\right]\mathrm{d}x.

To ciepło elementarne jest równe zeru dla

x_\star=\frac{3(a+1)}{2a+1}.

Gdy $a>1$ , mamy $1<x_\star<2$ : gaz otrzymuje ciepło od $B$ do punktu o odciętej $x_\star$ , a następnie oddaje je aż do $C$ . Otrzymuje również ciepło $Q_{AB}=aP_0V_0$ na gałęzi $A\to B$ . W konsekwencji

\begin{aligned} Q_{\mathrm{in}} &=P_0V_0\left[ a+\int_1^{x_\star}\left(3(a+1)-(2a+1)x\right)\mathrm{d}x \right]\\ &=P_0V_0\left[a+\frac{(a+2)^2}{2(2a+1)}\right]. \end{aligned}

Sprawność wynosi zatem

\boxed{ \eta =\frac{\frac12P_0V_0}{Q_{\mathrm{in}}} =\frac{2a+1}{5a^2+6a+4}, \qquad a=\frac{c_V}{R}. }

Dla jednoatomowego gazu doskonałego $a=\frac32$ , skąd

\eta=\frac{16}{97}\simeq16{,}5\,\%.