Rozwiązane zadanie z termodynamiki

Mieszanie dwóch mas wody

Ćwiczenie 3 · Lekcja 2 — Historia termodynamiki i kalorymetrii

  • kalorymetria
  • mieszanie
  • pojemność cieplna
  • ciepło właściwe
  • Joseph Black
  • temperatura równowagi

Treść zadania

Do naczynia zawierającego m2=0,300 kgm_2=0{,}300\,\text{kg} wody o temperaturze T2=15 ∘CT_2=15\,^\circ\text{C} wlewa się m1=0,200 kgm_1=0{,}200\,\text{kg} wody o temperaturze T1=80 ∘CT_1=80\,^\circ\text{C}. Naczynie jest idealnym kalorymetrem: pomija się straty ciepła do otoczenia oraz pojemność cieplną samego naczynia. Przypomnijmy zależność Q=mcΔTQ=mc\Delta T, gdzie c=4,18×103 J ⁣⋅ ⁣kg−1 ⁣⋅ ⁣K−1c=4{,}18\times10^3\,\text{J}\!\cdot\!\text{kg}^{-1}\!\cdot\!\text{K}^{-1} jest ciepłem właściwym ciekłej wody.

  1. Uzasadnić, że ciepło oddane przez wodę gorącą zostaje w całości pobrane przez wodę zimną. Zapisać równanie zachowania z wielkościami m1m_1, m2m_2, cc, T1T_1, T2T_2 i temperaturą równowagi TeqT_{eq}.
  2. Wyprowadzić wyrażenie na TeqT_{eq} i obliczyć jego wartość liczbową.
  3. Obliczyć ciepło QQ oddane przez gorącą wodę podczas mieszania.
  4. Czy mieszanie dwóch porcji tej samej substancji pozwala wyznaczyć cc? Uzasadnić.

Wskazówka
Kalorymetr jest izolowany i sztywny, dlatego całkowita energia wewnętrzna U1+U2U_1+U_2 jest zachowana: ciepło oddane przez jedną porcję zostaje pobrane przez drugą z przeciwnym znakiem.

Szczegółowe rozwiązanie

Rozwiązanie
1. Z zasady zachowania energii wewnętrznej wynika

m1c(Teq−T1)+m2c(Teq−T2)=0.m_1c(T_{eq}-T_1)+m_2c(T_{eq}-T_2)=0.

2. Wspólny czynnik cc skraca się, zatem

Teq=m1T1+m2T2m1+m2=0,200×80+0,300×150,200+0,300=41 ∘C.T_{eq}=\frac{m_1T_1+m_2T_2}{m_1+m_2} =\frac{0{,}200\times80+0{,}300\times15}{0{,}200+0{,}300} =41\,^\circ\text{C}.

3. Gorąca woda oddaje

Q=m1c(T1−Teq)=0,200×4,18×103×(80−41)≈3,26×104 J.Q=m_1c(T_1-T_{eq}) =0{,}200\times4{,}18\times10^3\times(80-41) \approx3{,}26\times10^4\,\text{J}.

Zimna woda pobiera dokładnie tę samą ilość:

m2c(Teq−T2)=0,300×4,18×103×26≈3,26×104 J.m_2c(T_{eq}-T_2)=0{,}300\times4{,}18\times10^3\times26 \approx3{,}26\times10^4\,\text{J}.

4. Nie. Dla dwóch mas tej samej substancji współczynnik cc mnoży oba składniki bilansu i skraca się. Temperatura równowagi nie zależy więc od cc, lecz jest średnią temperatur początkowych ważoną masami. Wyznaczenie ciepła właściwego metodą mieszanin wymaga substancji o znanej pojemności cieplnej, jak w następnym zadaniu.