Rozwiązane zadanie z termodynamiki

Mieszanie dwóch mas wody

Ćwiczenie 3 · Lekcja 2 — Historia termodynamiki i kalorymetrii

kalorymetria
mieszanie
pojemność cieplna
ciepło właściwe
Joseph Black
temperatura równowagi

Treść zadania

Do naczynia zawierającego $m_2=0{,}300\,\text{kg}$ wody o temperaturze $T_2=15\,^\circ\text{C}$ wlewa się $m_1=0{,}200\,\text{kg}$ wody o temperaturze $T_1=80\,^\circ\text{C}$ . Naczynie jest idealnym kalorymetrem: pomija się straty ciepła do otoczenia oraz pojemność cieplną samego naczynia. Przypomnijmy zależność $Q=mc\Delta T$ , gdzie $c=4{,}18\times10^3\,\text{J}\!\cdot\!\text{kg}^{-1}\!\cdot\!\text{K}^{-1}$ jest ciepłem właściwym ciekłej wody.

Uzasadnić, że ciepło oddane przez wodę gorącą zostaje w całości pobrane przez wodę zimną. Zapisać równanie zachowania z wielkościami $m_1$ , $m_2$ , $c$ , $T_1$ , $T_2$ i temperaturą równowagi $T_{eq}$ .
Wyprowadzić wyrażenie na $T_{eq}$ i obliczyć jego wartość liczbową.
Obliczyć ciepło $Q$ oddane przez gorącą wodę podczas mieszania.
Czy mieszanie dwóch porcji tej samej substancji pozwala wyznaczyć $c$ ? Uzasadnić.

Wskazówka

Kalorymetr jest izolowany i sztywny, dlatego całkowita energia wewnętrzna

U_1+U_2

jest zachowana: ciepło oddane przez jedną porcję zostaje pobrane przez drugą z przeciwnym znakiem.

Szczegółowe rozwiązanie

Rozwiązanie

1. Ponieważ kalorymetr jest odizolowany od otoczenia (ma adiabatyczne i sztywne ścianki), całkowita energia wewnętrzna układu złożonego z gorącej i zimnej wody jest zachowana: to, co jedna masa traci, druga dokładnie zyskuje. Zatem

Q_{1,\textrm{pobrane}}=-Q_{2,\textrm{pobrane}}

, czyli

Q_{1,\textrm{pobrane}}+Q_{2,\textrm{pobrane}}=0

. Przyjmując dla każdej masy wody między stanem początkowym a równowagą konwencję

Q=mc\Delta T

, otrzymujemy

m_1c(T_{eq}-T_1)+m_2c(T_{eq}-T_2)=0.

2. Wspólny czynnik $c$ skraca się, zatem

T_{eq}=\frac{m_1T_1+m_2T_2}{m_1+m_2} =\frac{0{,}200\times80+0{,}300\times15}{0{,}200+0{,}300} =41\,^\circ\text{C}.

3. Gorąca woda oddaje

Q_{1,\textrm{oddane}}=-Q_{1,\textrm{pobrane}}=m_1c(T_1-T_{eq}) =0{,}200\times4{,}18\times10^3\times(80-41) \approx3{,}26\times10^4\,\text{J}.

Zimna woda pobiera dokładnie tę samą ilość:

Q_{2,\textrm{pobrane}}=m_2c(T_{eq}-T_2)=0{,}300\times4{,}18\times10^3\times26 \approx3{,}26\times10^4\,\text{J}.

4. Nie. Dla dwóch mas tej samej substancji współczynnik $c$ mnoży oba składniki bilansu i skraca się. Temperatura równowagi nie zależy więc od $c$ , lecz jest średnią temperatur początkowych ważoną masami. Wyznaczenie ciepła właściwego metodą mieszanin wymaga substancji o znanej pojemności cieplnej, jak w następnym zadaniu.