Całkowanie formy różniczkowej wzdłuż drogi

Pytanie 1. Odpowiednia jest funkcja $f(x,y)=xy$, ponieważ $\partial f/\partial x=y$ oraz $\partial f/\partial y=x$. Pytanie 2. Dla krzywej sparametryzowanej przez $t\mapsto\bigl(x(t),y(t)\bigr)$ mamy

$$\int_\gamma\omega_1=\int\left[y(t)x'(t)+x(t)y'(t)\right]\,\mathrm{d}t.$$

Droga $\gamma_1$ jest sumą dwóch odcinków. Na pierwszym $x(t)=t$, $y(t)=0$ oraz $t\in[0,1]$, zatem $\mathrm{d}x=\mathrm{d}t$ i $\mathrm{d}y=0$. Na drugim $x(t)=1$, $y(t)=t$, także dla $t\in[0,1]$, zatem $\mathrm{d}x=0$ i $\mathrm{d}y=\mathrm{d}t$. W konsekwencji

$$\begin{aligned}I_1=\int_{\gamma_1}\omega_1&=\int_0^1(0\times1+t\times0)\,\mathrm{d}t+\int_0^1(t\times0+1\times1)\,\mathrm{d}t\\&=0+\int_0^1\mathrm{d}t=1.\end{aligned}$$

Dla $\gamma_2$ pierwszy odcinek parametryzujemy przez $x(t)=0$, $y(t)=t$, a drugi przez $x(t)=t$, $y(t)=1$, w obu przypadkach dla $t\in[0,1]$. Otrzymujemy

$$\begin{aligned}I_2=\int_{\gamma_2}\omega_1&=\int_0^1(t\times0+0\times1)\,\mathrm{d}t+\int_0^1(1\times1+t\times0)\,\mathrm{d}t\\&=0+\int_0^1\mathrm{d}t=1.\end{aligned}$$

Obie wartości są równe. Można było przewidzieć to bez obliczeń: skoro $\omega_1=\mathrm{d}f$ dla $f(x,y)=xy$, całka zależy wyłącznie od końców drogi,

$$\int_\gamma\omega_1=f(M)-f(O)=f(1,1)-f(0,0)=1.$$ Pytanie 3. Zapiszmy $\omega_2=A(x,y)\,\mathrm{d}x+B(x,y)\,\mathrm{d}y$. Tutaj $A(x,y)=y$ i $B(x,y)=0$. Gdyby forma była zupełna, kryterium Schwarza dawałoby $$\frac{\partial A}{\partial y}=\frac{\partial B}{\partial x}.$$

Tymczasem $\partial A/\partial y=1$, a $\partial B/\partial x=0$. Pochodne mieszane są różne, więc $\omega_2$ nie jest zupełna. Jej całka może zatem zależeć od drogi między $O$ i $M$, co potwierdza poniższe obliczenie.

Pytanie 4. Ponieważ $\omega_2=y\,\mathrm{d}x$, wkład do całki może dać tylko zmiana $x$ zachodząca przy niezerowej wartości $y$. Korzystając z poprzednich parametryzacji, na $\gamma_1$ otrzymujemy

$$\begin{aligned}J_1=\int_{\gamma_1}\omega_2&=\int_0^1 0\times1\,\mathrm{d}t+\int_0^1 t\times0\,\mathrm{d}t\\&=0.\end{aligned}$$

Na $\gamma_2$ pierwszy odcinek spełnia $x(t)=0$, więc $\mathrm{d}x=0$; na drugim $x(t)=t$, $y(t)=1$ i $\mathrm{d}x=\mathrm{d}t$. Stąd

$$\begin{aligned}J_2=\int_{\gamma_2}\omega_2&=\int_0^1 t\times0\,\mathrm{d}t+\int_0^1 1\times1\,\mathrm{d}t\\&=1.\end{aligned}$$

Odcinek przekątny $\gamma_3$ ma natomiast parametryzację

$$x(t)=t,\qquad y(t)=t,\qquad t\in[0,1],$$

skąd $\mathrm{d}x=\mathrm{d}t$ i $\mathrm{d}y=\mathrm{d}t$. Zatem

$$J_3=\int_{\gamma_3}\omega_2=\int_0^1 y(t)x'(t)\,\mathrm{d}t=\int_0^1 t\,\mathrm{d}t=\frac12.$$

Trzy drogi mają te same końce, lecz dają trzy różne wartości: $J_1=0$, $J_2=1$ i $J_3=1/2$. Jest to właśnie zależność od drogi charakterystyczna dla formy różniczkowej, która nie jest zupełna.