Rozwiązane zadanie z termodynamiki

Całkowanie formy różniczkowej wzdłuż drogi

Ćwiczenie 6 · Lekcja 4 — Pierwsza zasada termodynamiki

forma różniczkowa
różniczka zupełna
kryterium Schwarza
całka krzywoliniowa

Wersja robocza — to ćwiczenie jest jeszcze sprawdzane.

Treść zadania

Rozważmy dwie formy różniczkowe

\omega_1=y\,\mathrm{d}x+x\,\mathrm{d}y,\qquad\omega_2=y\,\mathrm{d}x,

oraz trzy drogi łączące początek układu $O(0,0)$ z punktem $M(1,1)$ : drogę $\gamma_1$ , złożoną z poziomego odcinka $O\to(1,0)$ , a następnie pionowego odcinka $(1,0)\to M$ ; drogę $\gamma_2$ , złożoną z pionowego odcinka $O\to(0,1)$ , a następnie poziomego odcinka $(0,1)\to M$ ; oraz drogę $\gamma_3$ , będącą odcinkiem prostej łączącym bezpośrednio $O$ z $M$ .

Wykazać, że $\omega_1$ jest zupełna, znajdując funkcję $f$ taką, że $\omega_1=\mathrm{d}f$ .
Obliczyć $\int_{\gamma_1}\omega_1$ i $\int_{\gamma_2}\omega_1$ , parametryzując każdy odcinek. Otrzymać wynik również bez obliczeń.
Zastosować kryterium Schwarza do $\omega_2$ . Jaki wniosek można wyciągnąć?
Obliczyć $\int_{\gamma_1}\omega_2$ , $\int_{\gamma_2}\omega_2$ i $\int_{\gamma_3}\omega_2$ . Skomentować wyniki.

Wskazówka

Na odcinku poziomym

\mathrm{d}y=0

, a na odcinku pionowym

\mathrm{d}x=0

: każda całka sprowadza się do zwykłej całki pojedynczej.

Szczegółowe rozwiązanie

Rozwiązanie

Pytanie 1. Odpowiednia jest funkcja

f(x,y)=xy

, ponieważ

\partial f/\partial x=y

oraz

\partial f/\partial y=x

Pytanie 2. Dla krzywej sparametryzowanej przez $t\mapsto\bigl(x(t),y(t)\bigr)$ mamy

\int_\gamma\omega_1=\int\left[y(t)x'(t)+x(t)y'(t)\right]\,\mathrm{d}t.

Droga $\gamma_1$ jest sumą dwóch odcinków. Na pierwszym $x(t)=t$ , $y(t)=0$ oraz $t\in[0,1]$ , zatem $\mathrm{d}x=\mathrm{d}t$ i $\mathrm{d}y=0$ . Na drugim $x(t)=1$ , $y(t)=t$ , także dla $t\in[0,1]$ , zatem $\mathrm{d}x=0$ i $\mathrm{d}y=\mathrm{d}t$ . W konsekwencji

\begin{aligned}I_1=\int_{\gamma_1}\omega_1&=\int_0^1(0\times1+t\times0)\,\mathrm{d}t+\int_0^1(t\times0+1\times1)\,\mathrm{d}t\\&=0+\int_0^1\mathrm{d}t=1.\end{aligned}

Dla $\gamma_2$ pierwszy odcinek parametryzujemy przez $x(t)=0$ , $y(t)=t$ , a drugi przez $x(t)=t$ , $y(t)=1$ , w obu przypadkach dla $t\in[0,1]$ . Otrzymujemy

\begin{aligned}I_2=\int_{\gamma_2}\omega_1&=\int_0^1(t\times0+0\times1)\,\mathrm{d}t+\int_0^1(1\times1+t\times0)\,\mathrm{d}t\\&=0+\int_0^1\mathrm{d}t=1.\end{aligned}

Obie wartości są równe. Można było przewidzieć to bez obliczeń: skoro $\omega_1=\mathrm{d}f$ dla $f(x,y)=xy$ , całka zależy wyłącznie od końców drogi,

\int_\gamma\omega_1=f(M)-f(O)=f(1,1)-f(0,0)=1.

Pytanie 3. Zapiszmy $\omega_2=A(x,y)\,\mathrm{d}x+B(x,y)\,\mathrm{d}y$ . Tutaj $A(x,y)=y$ i $B(x,y)=0$ . Gdyby forma była zupełna, kryterium Schwarza dawałoby

\frac{\partial A}{\partial y}=\frac{\partial B}{\partial x}.

Tymczasem $\partial A/\partial y=1$ , a $\partial B/\partial x=0$ . Pochodne mieszane są różne, więc $\omega_2$ nie jest zupełna. Jej całka może zatem zależeć od drogi między $O$ i $M$ , co potwierdza poniższe obliczenie.

Pytanie 4. Ponieważ $\omega_2=y\,\mathrm{d}x$ , wkład do całki może dać tylko zmiana $x$ zachodząca przy niezerowej wartości $y$ . Korzystając z poprzednich parametryzacji, na $\gamma_1$ otrzymujemy

\begin{aligned}J_1=\int_{\gamma_1}\omega_2&=\int_0^1 0\times1\,\mathrm{d}t+\int_0^1 t\times0\,\mathrm{d}t\\&=0.\end{aligned}

Na $\gamma_2$ pierwszy odcinek spełnia $x(t)=0$ , więc $\mathrm{d}x=0$ ; na drugim $x(t)=t$ , $y(t)=1$ i $\mathrm{d}x=\mathrm{d}t$ . Stąd

\begin{aligned}J_2=\int_{\gamma_2}\omega_2&=\int_0^1 t\times0\,\mathrm{d}t+\int_0^1 1\times1\,\mathrm{d}t\\&=1.\end{aligned}

Odcinek przekątny $\gamma_3$ ma natomiast parametryzację

x(t)=t,\qquad y(t)=t,\qquad t\in[0,1],

skąd $\mathrm{d}x=\mathrm{d}t$ i $\mathrm{d}y=\mathrm{d}t$ . Zatem

J_3=\int_{\gamma_3}\omega_2=\int_0^1 y(t)x'(t)\,\mathrm{d}t=\int_0^1 t\,\mathrm{d}t=\frac12.

Trzy drogi mają te same końce, lecz dają trzy różne wartości: $J_1=0$ , $J_2=1$ i $J_3=1/2$ . Jest to właśnie zależność od drogi charakterystyczna dla formy różniczkowej, która nie jest zupełna.