Rozwiązane zadanie z termodynamiki

Gaz fotonowy we Wszechświecie

Ćwiczenie 39 · Lekcja 7 — Struktura matematyczna: relacje podstawowe

gaz fotonowy
promieniowanie
mikrofalowe promieniowanie tła
relacja fundamentalna
rozprężanie adiabatyczne
funkcja jednorodna
zerowy potencjał chemiczny

Treść zadania

W pierwszych chwilach istnienia Wszechświata materia jest gorącą plazmą złożoną z jąder, elektronów i fotonów. W temperaturze około $T_{i} \approx 3000 K$ powstają pierwsze atomy, a fotony stają się swobodne. Przyjmujemy, że w tej chwili gaz fotonowy znajduje się w równowadze w temperaturze $T_{i}$ , a następnie w miarę rozszerzania się Wszechświata ulega odwracalnemu rozprężaniu adiabatycznemu. Przyjmujemy jego relację fundamentalną

S (U, V) = \frac{4}{3} a V^{1/4} U^{3/4},

gdzie $a$ jest dodatnią stałą wymiarową. Entropia nie zależy od liczby $N$ fotonów: liczba ta nie jest zachowana.

Przypomnieć definicję funkcji jednorodnej stopnia pierwszego i wykazać, że $S$ jest taką funkcją.
Naszkicować przebieg $S$ w funkcji $U$ przy ustalonym $V$ . Czy funkcja ta jest wklęsła? Skomentować.
Wyznaczyć $T$ , $P$ i $μ$ z pochodnych $S$ . Wykazać w szczególności, że $U = a^{4} V T^{4}$ oraz $P = U / (3 V)$ , a następnie skomentować wartość $μ$ .
Zapisać pierwszą zasadę dla tego gazu i zastosować ją do odwracalnego rozprężania adiabatycznego. Wyprowadzić stąd zależność między $U$ i $V$ wzdłuż tej przemiany.
Wywnioskować stąd, że $V T^{3}$ pozostaje stałe podczas rozprężania.
Odtworzyć ten wynik bezpośrednio, wychodząc od entropii wyrażonej przez $T$ i $V$ .
Gaz fotonowy obserwujemy dziś w temperaturze $T_{f} \approx 3 K$ : jest to mikrofalowe promieniowanie tła. Ile razy wzrosła objętość Wszechświata od chwili emisji?

Wskazówka

W reprezentacji entropowej

1/ T = (\partial S / \partial U)_{V}

P / T = (\partial S / \partial V)_{U}

oraz

μ / T = - (\partial S / \partial N)_{U, V}

. W pytaniu 4 odwracalna przemiana adiabatyczna spełnia

d S = 0

, zatem

d U = - P d V

: rozdzielić zmienne.

Szczegółowe rozwiązanie

Rozwiązanie

Pytanie 1. Funkcja

f

wielu zmiennych jest jednorodna stopnia pierwszego, jeśli

f (λ x, λ y) = λ f (x, y)

dla każdego

λ > 0

. Tutaj

S (λ U, λV) = \frac{4}{3} a (λV)^{1/4} (λ U)^{3/4} = \frac{4}{3} a λ^{1/4 + 3/4} V^{1/4} U^{3/4} = λ S (U, V) .

Entropia gazu fotonowego jest więc ekstensywna.

Pytanie 2. Przy ustalonym

V

entropia

S

jest proporcjonalna do

U^{3/4}

. Jej pierwsza pochodna,

(\frac{\partial S}{\partial U})_{V} = a V^{1/4} U^{- 1/4} > 0,

jest dodatnia: $S$ rośnie wraz z $U$ , a temperatura jest dodatnia. Jej druga pochodna,

(\frac{\partial ^{2} S}{\partial U ^{2}})_{V} = - \frac{a}{4} V^{1/4} U^{- 5/4} < 0,

jest ujemna: $S$ jest wklęsła względem $U$ . Krzywa wychodzi z początku układu współrzędnych ze styczną pionową, a następnie się zagina, pozostając powyżej swoich cięciw. Ta wklęsłość wyraża stabilność równowagi gazu fotonowego.

Pytanie 3. Na podstawie pytania 2

\frac{1}{T} = a (\frac{V}{U})^{1/4} ⟹ (\frac{U}{V})^{1/4} = a T ⟹ U = a^{4} V T^{4} .

Pochodna względem $V$ przy ustalonym $U$ wynosi

\frac{P}{T} = (\frac{\partial S}{\partial V})_{U} = \frac{4}{3} a \cdot \frac{1}{4} V^{- 3/4} U^{3/4} = \frac{a}{3} (\frac{U}{V})^{3/4} .

Ponieważ $(U / V)^{3/4} = ((U / V)^{1/4})^{3} = a^{3} T^{3}$ , otrzymujemy

P = T \cdot \frac{a}{3} \cdot a^{3} T^{3} = \frac{a ^{4} T ^{4}}{3} = \frac{U}{3 V} .

Wreszcie $S$ nie zależy od $N$ , zatem $μ = - T (\partial S / \partial N)_{U, V} = 0$ . Potencjał chemiczny fotonów jest równy zeru: ponieważ ich liczba nie jest zachowana, dopasowuje się ona swobodnie w stanie równowagi, a dodanie jednego fotonu nic nie kosztuje.

Pytanie 4. Ponieważ wyraz

μ d N

jest równy zeru, różniczkowa relacja fundamentalna ma postać

d U = T d S - P d V

. Dla odwracalnego rozprężania adiabatycznego

d S = 0

, zatem przy

P = U / (3 V)

d U = - P d V = - \frac{U}{3 V} d V ⟹ \frac{d U}{U} = - \frac{1}{3} \frac{d V}{V} .

Całkując między stanem początkowym a dowolnym stanem w trakcie rozprężania, otrzymujemy $ln (U / U_{i}) = - \frac{1}{3} ln (V / V_{i})$ , czyli

U V^{1/3} = const .

Pytanie 5. Zastąpmy $U$ przez $a^{4} V T^{4}$ :

a^{4} V T^{4} \cdot V^{1/3} = a^{4} V^{4/3} T^{4} = const .

Ponieważ $a$ jest stałe, wyrażenie $V^{4/3} T^{4} = (V^{1/3} T)^{4}$ jest stałe, a więc stałe jest również $V^{1/3} T$ ; po podniesieniu do trzeciej potęgi $V T^{3} = const$ .

Pytanie 6. Wyraźmy

S

przez

T

V

, zastępując

U

przez

a^{4} V T^{4}

S = \frac{4}{3} a V^{1/4} (a^{4} V T^{4})^{3/4} = \frac{4}{3} a V^{1/4} a^{3} V^{3/4} T^{3} = \frac{4}{3} a^{4} V T^{3} .

Odwracalne rozprężanie adiabatyczne jest izentropowe: $S$ jest stała, a więc także $V T^{3}$ . Bezpośrednio odtwarzamy wynik pytania 5.

Pytanie 7. Ponieważ

V T^{3}

jest zachowane,

\frac{V _{f}}{V _{i}} = (\frac{T _{i}}{T _{f}})^{3} = (\frac{3000}{3})^{3} = (1 0^{3})^{3} = 1 0^{9} .

Od chwili emisji objętość Wszechświata wzrosła miliard razy, co odpowiada czynnikowi $1 0^{3}$ dla odległości. Promieniowanie wyemitowane w temperaturze około $3000 K$ , ochłodzone przez rozszerzanie się Wszechświata, jest mikrofalowym promieniowaniem tła mierzonym dziś w temperaturze $2, 7 K$ .