풀이가 있는 열역학 연습문제

두 상태 사이의 서로 다른 두 경로에서의 일과 열

연습문제 11 · 단원 5 — 이상 기체에의 응용

  • 압력 힘의 일
  • 열
  • 등온 변환
  • 등적 변환
  • 클라페롱 선도
  • 완전미분
  • 이상기체

문제

내부 에너지가 U=32nRTU=\frac{3}{2}nRT인 단원자 이상기체 nn몰을 생각하자. 상태 A(T1,V1)A(T_1,V_1)에서 상태 B(T2,V2)B(T_2,V_2)까지 다음 두 준정적 경로로 이동하며, 매 순간 Pext=PP_{\mathrm{ext}}=P이다.

  • Γ1\Gamma_1: T1T_1에서 V1V_1로부터 V2V_2까지 등온 팽창한 뒤, V2V_2에서 T1T_1로부터 T2T_2까지 등적 변환;
  • Γ2\Gamma_2: V1V_1에서 T1T_1로부터 T2T_2까지 등적 변환한 뒤, T2T_2에서 V1V_1로부터 V2V_2까지 등온 팽창.

  1. T2>T1T_2>T_1이고 V2>V1V_2>V_1인 경우에 경로 Γ1\Gamma_1과 Γ2\Gamma_2를 클라페롱 선도 (P,V)(P,V)에 나타내라. 중간 상태와 진행 방향을 표시하라.
  2. 두 경로 각각을 따라 기체가 받은 일 W1W_1과 W2W_2를 계산하라. 그 차이 W1−W2W_1-W_2는 얼마인가?
  3. 두 적분을 별도로 다시 계산하지 말고, 클라페롱 선도에서 두 경로 사이의 면적을 이용하여 W1−W2W_1-W_2를 기하학적으로 다시 구하라.
  4. 두 경로 각각을 따라 ΔU\Delta U를 계산하고, 이로부터 Q1Q_1과 Q2Q_2를 구하라. δQ\delta Q의 성질에 관해 결론을 내려라.
  5. 수치 적용: n=1n=1 mol, T1=300T_1=300 K, T2=600T_2=600 K, 그리고 V2=2V1V_2=2V_1.

힌트
클라페롱 선도에서 등적선은 수직선이며, 이상기체의 등온선은 P=nRT/VP=nRT/V를 만족한다. 온도 T2T_2의 등온선은 온도 T1T_1의 등온선 위에 있다. 등적 변환에서는 압력 힘의 일이 없다. 문제 3에서 기체가 받은 일은 (P,V)(P,V) 선도에서 경로 아래에 있는 대수적 면적의 반대 부호이다.

자세한 풀이

풀이
문제 1. 경로 Γ1\Gamma_1의 중간 상태를 CC, 경로 Γ2\Gamma_2의 중간 상태를 DD라 하자. 각 상태의 압력과 부피는

A=(nRT1V1,V1),C=(nRT1V2,V2),D=(nRT2V1,V1),B=(nRT2V2,V2).\begin{aligned} A&=\left(\frac{nRT_1}{V_1},V_1\right),& C&=\left(\frac{nRT_1}{V_2},V_2\right),\\ D&=\left(\frac{nRT_2}{V_1},V_1\right),& B&=\left(\frac{nRT_2}{V_2},V_2\right). \end{aligned}

T2>T1T_2>T_1이므로 등온선 T2T_2는 등온선 T1T_1 위에 있다. 경로 Γ1\Gamma_1은 AA에서 CC까지 아래쪽 등온선 T1T_1을 따라 오른쪽으로 간 다음, 등적선 V2V_2를 따라 CC에서 BB까지 수직으로 올라간다. 경로 Γ2\Gamma_2는 먼저 등적선 V1V_1을 따라 AA에서 DD까지 수직으로 올라간 다음, 위쪽 등온선 T2T_2를 따라 DD에서 BB까지 오른쪽으로 간다. 따라서 두 경로의 화살표는

Γ1:A→ T=T1 C→ V=V2 B,Γ2:A→ V=V1 D→ T=T2 B.\Gamma_1:A\xrightarrow{\,T=T_1\,}C\xrightarrow{\,V=V_2\,}B, \qquad \Gamma_2:A\xrightarrow{\,V=V_1\,}D\xrightarrow{\,T=T_2\,}B.
클라페롱 선도에서의 경로 _1과 _2. 회색 곡선은 등온선 T_1과 T_2의 연장선이다.
그림 1. 클라페롱 선도에서의 경로 Γ1\Gamma_1과 Γ2\Gamma_2. 회색 곡선은 등온선 T1T_1과 T2T_2의 연장선이다.

문제 2. 기체가 받은 일을 양수로 하는 부호 규약에 따르면 δW=−P dV\delta W=-P\,\mathrm{d}V이다. 등적 변환에서는 기여가 없으며, 온도 TT에서의 등온 변환에서는

W=−∫V1V2nRTV dV=−nRTln⁡V2V1.W=-\int_{V_1}^{V_2}\frac{nRT}{V}\,\mathrm{d}V =-nRT\ln\frac{V_2}{V_1}.

따라서

W1=−nRT1ln⁡V2V1,W2=−nRT2ln⁡V2V1,W_1=-nRT_1\ln\frac{V_2}{V_1}, \qquad W_2=-nRT_2\ln\frac{V_2}{V_1},

이며

W1−W2=nR(T2−T1)ln⁡V2V1≠0.W_1-W_2 =nR(T_2-T_1)\ln\frac{V_2}{V_1}\neq 0.

처음 상태와 마지막 상태는 같지만 일은 서로 다르다. 즉, δW\delta W는 완전미분이 아니다.

문제 3. 등적 과정은 어떠한 면적도 쓸고 지나가지 않는다. 기체가 받은 일은 곡선 아래 면적의 반대 부호이므로, 차이 W1−W2W_1-W_2는 등온선 T2T_2와 T1T_1 사이의 면적이다.

W1−W2=∫V1V2(nRT2V−nRT1V)dV=nR(T2−T1)ln⁡V2V1>0.W_1-W_2 =\int_{V_1}^{V_2}\left(\frac{nRT_2}{V}-\frac{nRT_1}{V}\right)\mathrm{d}V =nR(T_2-T_1)\ln\frac{V_2}{V_1}>0.

문제 2의 결과를 다시 얻었다.

문제 4. 단원자 이상기체의 내부 에너지는 온도에만 의존한다. 따라서 그 변화량은 두 경로에서 같다.

ΔU=UB−UA=32nR(T2−T1).\Delta U=U_B-U_A=\frac{3}{2}nR(T_2-T_1).

열역학 제1법칙 ΔU=W+Q\Delta U=W+Q로부터 Q=ΔU−WQ=\Delta U-W이므로

Q1=32nR(T2−T1)+nRT1ln⁡V2V1,Q2=32nR(T2−T1)+nRT2ln⁡V2V1.\begin{aligned} Q_1&=\frac{3}{2}nR(T_2-T_1) +nRT_1\ln\frac{V_2}{V_1},\\ Q_2&=\frac{3}{2}nR(T_2-T_1) +nRT_2\ln\frac{V_2}{V_1}. \end{aligned}

따라서

Q2−Q1=nR(T2−T1)ln⁡V2V1≠0.Q_2-Q_1=nR(T_2-T_1)\ln\frac{V_2}{V_1}\neq 0.

교환된 열도 경로에 의존한다. dU\mathrm{d}U와 달리 δQ\delta Q는 완전미분이 아니다.

문제 5. ln⁡2≃0,693\ln 2\simeq0{,}693을 사용하면

W1≃−1,73 kJ,W2≃−3,46 kJ,ΔU≃3,74 kJ,Q1≃5,47 kJ,Q2≃7,20 kJ.\begin{aligned} W_1&\simeq-1{,}73\ \mathrm{kJ},& W_2&\simeq-3{,}46\ \mathrm{kJ},\\ \Delta U&\simeq3{,}74\ \mathrm{kJ},& Q_1&\simeq5{,}47\ \mathrm{kJ},& Q_2&\simeq7{,}20\ \mathrm{kJ}. \end{aligned}

기체는 Γ2\Gamma_2에서 두 배의 일을 외부에 하며, 그 차이에 해당하는 열을 추가로 받는다.