풀이가 있는 열역학 연습문제

두 상태 사이의 서로 다른 두 경로에서의 일과 열

연습문제 19 · 단원 5 — 이상 기체에의 응용

압력 힘의 일
열
등온 변환
등적 변환
클라페롱 선도
완전미분
이상기체

문제

내부 에너지가 $U = \frac{3}{2} n R T$ 인 단원자 이상기체 $n$ 몰을 생각하자. 상태 $A (T_{1}, V_{1})$ 에서 상태 $B (T_{2}, V_{2})$ 까지 다음 두 준정적 경로로 이동하며, 매 순간 $P_{ext} = P$ 이다.

$Γ_{1}$ : $T_{1}$ 에서 $V_{1}$ 로부터 $V_{2}$ 까지 등온 팽창한 뒤, $V_{2}$ 에서 $T_{1}$ 로부터 $T_{2}$ 까지 등적 변환;
$Γ_{2}$ : $V_{1}$ 에서 $T_{1}$ 로부터 $T_{2}$ 까지 등적 변환한 뒤, $T_{2}$ 에서 $V_{1}$ 로부터 $V_{2}$ 까지 등온 팽창.

$T_{2} > T_{1}$ 이고 $V_{2} > V_{1}$ 인 경우에 경로 $Γ_{1}$ 과 $Γ_{2}$ 를 클라페롱 선도 $(P, V)$ 에 나타내라. 중간 상태와 진행 방향을 표시하라.
두 경로 각각을 따라 기체가 받은 일 $W_{1}$ 과 $W_{2}$ 를 계산하라. 그 차이 $W_{1} - W_{2}$ 는 얼마인가?
두 적분을 별도로 다시 계산하지 말고, 클라페롱 선도에서 두 경로 사이의 면적을 이용하여 $W_{1} - W_{2}$ 를 기하학적으로 다시 구하라.
두 경로 각각을 따라 $Δ U$ 를 계산하고, 이로부터 $Q_{1}$ 과 $Q_{2}$ 를 구하라. $δ Q$ 의 성질에 관해 결론을 내려라.
수치 적용: $n = 1$ mol, $T_{1} = 300$ K, $T_{2} = 600$ K, 그리고 $V_{2} = 2 V_{1}$ .

힌트

클라페롱 선도에서 등적선은 수직선이며, 이상기체의 등온선은

P = n R T / V

를 만족한다. 온도

T_{2}

의 등온선은 온도

T_{1}

의 등온선 위에 있다. 등적 변환에서는 압력 힘의 일이 없다. 문제 3에서 기체가 받은 일은

(P, V)

선도에서 경로 아래에 있는 대수적 면적의 반대 부호이다.

자세한 풀이

풀이

문제 1. 경로

Γ_{1}

의 중간 상태를

C

, 경로

Γ_{2}

의 중간 상태를

D

라 하자. 각 상태의 압력과 부피는

A D = (\frac{n R T _{1}}{V _{1}}, V_{1}), = (\frac{n R T _{2}}{V _{1}}, V_{1}), C B = (\frac{n R T _{1}}{V _{2}}, V_{2}), = (\frac{n R T _{2}}{V _{2}}, V_{2}) .

$T_{2} > T_{1}$ 이므로 등온선 $T_{2}$ 는 등온선 $T_{1}$ 위에 있다. 경로 $Γ_{1}$ 은 $A$ 에서 $C$ 까지 아래쪽 등온선 $T_{1}$ 을 따라 오른쪽으로 간 다음, 등적선 $V_{2}$ 를 따라 $C$ 에서 $B$ 까지 수직으로 올라간다. 경로 $Γ_{2}$ 는 먼저 등적선 $V_{1}$ 을 따라 $A$ 에서 $D$ 까지 수직으로 올라간 다음, 위쪽 등온선 $T_{2}$ 를 따라 $D$ 에서 $B$ 까지 오른쪽으로 간다. 따라서 두 경로의 화살표는

Γ_{1} : A T = T_{1} C V = V_{2} B, Γ_{2} : A V = V_{1} D T = T_{2} B .

클라페롱 선도에서의 경로 _1과 _2. 회색 곡선은 등온선 T_1과 T_2의 연장선이다. — 그림 1. 클라페롱 선도에서의 경로 $Γ_{1}$ 과 $Γ_{2}$ . 회색 곡선은 등온선 $T_{1}$ 과 $T_{2}$ 의 연장선이다.

문제 2. 기체가 받은 일을 양수로 하는 부호 규약에 따르면 $δ W = - P d V$ 이다. 등적 변환에서는 기여가 없으며, 온도 $T$ 에서의 등온 변환에서는

W = - \int_{V_{1}}^{V_{2}} \frac{n R T}{V} d V = - n R T ln \frac{V _{2}}{V _{1}} .

따라서

W_{1} = - n R T_{1} ln \frac{V _{2}}{V _{1}}, W_{2} = - n R T_{2} ln \frac{V _{2}}{V _{1}},

이며

W_{1} - W_{2} = n R (T_{2} - T_{1}) ln \frac{V _{2}}{V _{1}} \neq = 0.

처음 상태와 마지막 상태는 같지만 일은 서로 다르다. 즉, $δ W$ 는 완전미분이 아니다.

문제 3. 등적 과정은 어떠한 면적도 쓸고 지나가지 않는다. 기체가 받은 일은 곡선 아래 면적의 반대 부호이므로, 차이

W_{1} - W_{2}

는 등온선

T_{2}

와

T_{1}

사이의 면적이다.

W_{1} - W_{2} = \int_{V_{1}}^{V_{2}} (\frac{n R T _{2}}{V} - \frac{n R T _{1}}{V}) d V = n R (T_{2} - T_{1}) ln \frac{V _{2}}{V _{1}} > 0.

문제 2의 결과를 다시 얻었다.

문제 4. 단원자 이상기체의 내부 에너지는 온도에만 의존한다. 따라서 그 변화량은 두 경로에서 같다.

Δ U = U_{B} - U_{A} = \frac{3}{2} n R (T_{2} - T_{1}) .

열역학 제1법칙 $Δ U = W + Q$ 로부터 $Q = Δ U - W$ 이므로

Q_{1} Q_{2} = \frac{3}{2} n R (T_{2} - T_{1}) + n R T_{1} ln \frac{V _{2}}{V _{1}}, = \frac{3}{2} n R (T_{2} - T_{1}) + n R T_{2} ln \frac{V _{2}}{V _{1}} .

따라서

Q_{2} - Q_{1} = n R (T_{2} - T_{1}) ln \frac{V _{2}}{V _{1}} \neq = 0.

교환된 열도 경로에 의존한다. $d U$ 와 달리 $δ Q$ 는 완전미분이 아니다.

문제 5.

ln 2 ≃ 0, 693

을 사용하면

W_{1} Δ U ≃ - 1, 73 kJ, ≃ 3, 74 kJ, W_{2} Q_{1} ≃ - 3, 46 kJ, ≃ 5, 47 kJ, Q_{2} ≃ 7, 20 kJ .

기체는 $Γ_{2}$ 에서 두 배의 일을 외부에 하며, 그 차이에 해당하는 열을 추가로 받는다.