풀이가 있는 열역학 연습문제

수업 연습문제: 라플라스 법칙

연습문제 10 · 단원 5 — 이상 기체에의 응용

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  • 단열 지수
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  • 단열 팽창
  • 미분형 열역학 제1법칙

문제

단열 지수가 일정한 값 γ=cP/cV\gamma = c_P/c_V인 이상기체 nn몰을 생각하자. 계는 닫힌계라고 가정한다. 마이어 관계식 cP−cV=Rc_P - c_V = R을 인정한다(cPc_P의 발견에 관한 연습문제 참조).

  1. 다음을 보여라. cV=Rγ−1,cP=γRγ−1.c_V = \frac{R}{\gamma - 1}, \qquad c_P = \frac{\gamma R}{\gamma - 1}.
  2. 기체가 Pext=PP_{\text{ext}} = P라고 가정할 수 있는 준정적 단열 변환을 한다. 미분형 열역학 제1법칙에서 출발하여 dTT+(γ−1)dVV=0\frac{\mathrm{d}T}{T} + (\gamma - 1)\frac{\mathrm{d}V}{V} = 0 을 보이고, 이로부터 변환을 따라 TVγ−1=상수TV^{\gamma-1} = \text{상수}임을 유도하라.
  3. 라플라스 법칙의 다른 두 형태인 PVγ=상수PV^\gamma = \text{상수}와 TγP1−γ=상수T^\gamma P^{1-\gamma} = \text{상수}를 유도하라.
  4. 이와 같은 팽창으로 단원자 기체(γ=5/3\gamma = 5/3) n=1n = 1 mol의 부피가 두 배가 된다고 하자. 처음 온도는 Ti=300T_i = 300 K이다. TfT_f, 이어서 ΔT\Delta T와 WW를 계산하고 ΔT\Delta T와 WW의 부호를 설명하라.
  5. 클라페롱 선도 (P,V)(P,V)의 한 점에서 이 단열선의 기울기와 등온선의 기울기를 비교하라.

힌트
문제 2에서는 dU=ncV dT\mathrm{d}U = n c_V\,\mathrm{d}T, δW=−P dV\delta W = -P\,\mathrm{d}V, P=nRT/VP = nRT/V를 사용한 뒤 변수를 분리하라. 문제 5에서는 PVγ=상수PV^\gamma = \text{상수}와 PV=상수PV = \text{상수}를 미분하라.

자세한 풀이

풀이
문제 1. cP=γcVc_P = \gamma c_V와 cP−cV=Rc_P - c_V = R로부터 cV(γ−1)=Rc_V(\gamma - 1) = R을 얻으며, 여기에서 두 식이 나온다.

문제 2. 단열 변환에서는 δQ=0\delta Q = 0이므로 dU=δW\mathrm{d}U = \delta W, 즉 ncV dT=−P dV=−nRTVdVn c_V\,\mathrm{d}T = -P\,\mathrm{d}V = -\dfrac{nRT}{V}\mathrm{d}V이다. cV=R/(γ−1)c_V = R/(\gamma-1)을 사용하면

dTT=−(γ−1)dVV.\frac{\mathrm{d}T}{T} = -(\gamma-1)\frac{\mathrm{d}V}{V}.

적분하면 ln⁡T+(γ−1)ln⁡V=상수\ln T + (\gamma-1)\ln V = \text{상수}, 즉 TVγ−1=상수TV^{\gamma-1} = \text{상수}이다.

문제 3. T=PV/(nR)T = PV/(nR)를 대입하면 nn이 일정하므로 PVγ=상수PV^\gamma = \text{상수}를 얻는다. V=nRT/PV = nRT/P를 대입하면 T(TP)γ−1=상수T \left(\frac{T}{P}\right)^{\gamma-1} = \text{상수}를 얻으며, 따라서 TγP1−γ=상수T^\gamma P^{1-\gamma} = \text{상수}이다.

문제 4. 가장 간단한 방법은 라플라스 법칙 TVγ−1=상수T V^{\gamma - 1} = \text{상수}를 사용하는 것이다. 이 법칙에서 TiViγ−1=TfVfγ−1T_i V_i^{\gamma - 1} = T_f V_f^{\gamma - 1}, 즉 Tf=Ti 2−(γ−1)=300×2−2/3≈189T_f = T_i\,2^{-(\gamma-1)} = 300 \times 2^{-2/3} \approx 189 K를 얻는다. 계산에서 오류가 생기지 않도록 반드시 온도를 켈빈으로 나타내야 한다! 이로부터 ΔT=Tf−Ti≈−111\Delta T = T_f-T_i \approx -111 K이다. 일의 경우 Q=0Q = 0이므로

W=ΔU=32RΔT≈32×8,314×(−111)≈−1,4 kJ.W = \Delta U = \tfrac{3}{2}R\Delta T \approx \tfrac{3}{2}\times 8{,}314 \times (-111) \approx -1{,}4\ \text{kJ}.

W<0W < 0이다. 즉, 기체는 팽창하면서 외부에 일을 한다. 열원에서 열을 받을 수 없으므로(Q=0Q=0), 기체는 내부 에너지를 사용하고 그 결과 ΔT<0\Delta T < 0인 냉각이 일어난다.

문제 5. PV=상수PV = \text{상수}를 미분하면 (dPdV)isoT=−PV\left(\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}V}\right)_{\text{isoT}} = -\dfrac{P}{V}이다. PVγ=상수PV^\gamma = \text{상수}를 미분하면 (dPdV)adiab=−γPV\left(\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}V}\right)_{\text{adiab}} = -\gamma\dfrac{P}{V}이다. 단열선은 등온선보다 γ\gamma배 더 가파르다. 열을 방출하지 않고 압축하면 온도도 상승하므로 압력이 더 빠르게 증가한다.