풀이가 있는 열역학 연습문제

수업 연습문제: 라플라스 법칙

연습문제 18 · 단원 5 — 이상 기체에의 응용

문제

단열 지수가 일정한 값 $γ = c_{P} / c_{V}$ 인 이상기체 $n$ 몰을 생각하자. 계는 닫힌계라고 가정한다. 마이어 관계식 $c_{P} - c_{V} = R$ 을 인정한다( $c_{P}$ 의 발견에 관한 연습문제 참조).

다음을 보여라. $c_{V} = \frac{R}{γ - 1}, c_{P} = \frac{γ R}{γ - 1} .$
기체가 $P_{ext} = P$ 라고 가정할 수 있는 준정적 단열 변환을 한다. 미분형 열역학 제1법칙에서 출발하여 $\frac{d T}{T} + (γ - 1) \frac{d V}{V} = 0$ 을 보이고, 이로부터 변환을 따라 $T V^{γ - 1} = 상수$ 임을 유도하라.
라플라스 법칙의 다른 두 형태인 $P V^{γ} = 상수$ 와 $T^{γ} P^{1 - γ} = 상수$ 를 유도하라.
이와 같은 팽창으로 단원자 기체( $γ = 5/3$ ) $n = 1$ mol의 부피가 두 배가 된다고 하자. 처음 온도는 $T_{i} = 300$ K이다. $T_{f}$ , 이어서 $Δ T$ 와 $W$ 를 계산하고 $Δ T$ 와 $W$ 의 부호를 설명하라.
클라페롱 선도 $(P, V)$ 의 한 점에서 이 단열선의 기울기와 등온선의 기울기를 비교하라.

힌트

문제 2에서는

d U = n c_{V} d T

δ W = - P d V

P = n R T / V

를 사용한 뒤 변수를 분리하라. 문제 5에서는

P V^{γ} = 상수

와

P V = 상수

를 미분하라.

풀이

문제 1.

c_{P} = γ c_{V}

와

c_{P} - c_{V} = R

로부터

c_{V} (γ - 1) = R

을 얻으며, 여기에서 두 식이 나온다. 문제 2. 단열 변환에서는

δ Q = 0

이므로

d U = δ W

, 즉

n c_{V} d T = - P d V = - \frac{n R T}{V} d V

이다.

c_{V} = R / (γ - 1)

을 사용하면

\frac{d T}{T} = - (γ - 1) \frac{d V}{V} .

적분하면 $ln T + (γ - 1) ln V = 상수$ , 즉 $T V^{γ - 1} = 상수$ 이다.

문제 3.

T = P V / (n R)

를 대입하면

n

이 일정하므로

P V^{γ} = 상수

를 얻는다.

V = n R T / P

를 대입하면

T (\frac{T}{P})^{γ - 1} = 상수

를 얻으며, 따라서

T^{γ} P^{1 - γ} = 상수

이다. 문제 4. 가장 간단한 방법은 라플라스 법칙

T V^{γ - 1} = 상수

를 사용하는 것이다. 이 법칙에서

T_{i} V_{i}^{γ - 1} = T_{f} V_{f}^{γ - 1}

, 즉

T_{f} = T_{i} 2^{- (γ - 1)} = 300 \times 2^{- 2/3} \approx 189

K를 얻는다. 계산에서 오류가 생기지 않도록 반드시 온도를 켈빈으로 나타내야 한다! 이로부터

Δ T = T_{f} - T_{i} \approx - 111

K이다. 일의 경우

Q = 0

이므로

W = Δ U = \frac{3}{2} R Δ T \approx \frac{3}{2} \times 8, 314 \times (- 111) \approx - 1, 4 kJ .

$W < 0$ 이다. 즉, 기체는 팽창하면서 외부에 일을 한다. 열원에서 열을 받을 수 없으므로( $Q = 0$ ), 기체는 내부 에너지를 사용하고 그 결과 $Δ T < 0$ 인 냉각이 일어난다.

문제 5.

P V = 상수

를 미분하면

(\frac{d P}{d V})_{isoT} = - \frac{P}{V}

이다.

P V^{γ} = 상수

를 미분하면

(\frac{d P}{d V})_{adiab} = - γ \frac{P}{V}

이다. 단열선은 등온선보다

γ

배 더 가파르다. 열을 방출하지 않고 압축하면 온도도 상승하므로 압력이 더 빠르게 증가한다.