풀이가 있는 열역학 연습문제

삼각형 사이클

연습문제 20 · 단원 5 — 이상 기체에의 응용

동력 사이클
클라페롱 선도
사이클 면적
열역학 제1법칙
효율

문제

몰 열용량 $c_{V}$ 가 일정한 이상기체 $n$ 몰이 다음 준정적 사이클 $A \to B \to C \to A$ 를 수행한다.

A = (P_{0}, V_{0}), B = (2 P_{0}, V_{0}), C = (P_{0}, 2 V_{0}) .

$A \to B$ 과정은 등적 과정이고, $B \to C$ 과정은 $(P, V)$ 평면에서의 직선 선분이며, $C \to A$ 과정은 등압 과정이다.

동력 사이클의 효율은 다음과 같이 정의된다.

η = \frac{W _{out}}{Q _{in}} = \frac{- W _{cycle}}{Q _{in}},

여기서 $Q_{in}$ 은 사이클 중 기체가 받는 $δ Q > 0$ 인 미소 열전달량의 합이다.

사이클을 클라페롱 선도에 나타내고 진행 방향을 명시하라. 동력 사이클인가, 냉동 사이클인가?
$B$ 와 $C$ 를 잇는 직선의 방정식 $P (V)$ 를 구하라.
$T_{0} = P_{0} V_{0} / (n R)$ 로 놓고 온도 $T_{A}$ , $T_{B}$ , $T_{C}$ 를 구하라. 이 과정이 등온 과정이 아닌데도 $Δ U_{B \to C}$ 가 0인 이유는 무엇인가?
세 과정 각각과 전체 사이클에서 기체가 받은 일을 계산하라. 삼각형의 면적으로부터 전체 일의 절댓값을 다시 구하라.
각 과정에서 $Δ U$ 와 $Q$ 를 $P_{0}$ , $V_{0}$ , $c_{V}$ 만으로 나타낸 뒤, $Δ U_{cycle} = 0$ 과 $Q_{cycle} = - W_{cycle}$ 을 확인하라.
$a = \frac{c _{V}}{R} > 1$ , $x = V / V_{0}$ 로 놓고 $B \to C$ 과정의 한 점에서 $δ Q$ 의 부호가 바뀜을 보여라. 이로부터 $Q_{in}$ 과 사이클의 효율 $η$ 를 구하라. $c_{V} = \frac{3}{2} R$ 인 단원자 이상기체에 대한 값을 구하라.

힌트

B \to C

에서

B

와

C

를 지난다는 조건으로

P (V) = aV + b

를 구하라. 내부 에너지 변화를 계산할 때에는 과정 양 끝점의 온도만 필요하다. 문제 6에서는 미분형 열역학 제1법칙을 사용하라.

자세한 풀이

풀이

문제 1–2. 사이클은 시계 방향으로 진행되며 동력 사이클이다. 직선

B \to C

의 방정식은

P (V) = P_{0} (3 - \frac{V}{V _{0}}) .

클라페롱 선도에서의 삼각형 사이클 A B C A. — 그림 1. 클라페롱 선도에서의 삼각형 사이클 $A \to B \to C \to A$ .

문제 3. 상태 방정식으로부터

T_{A} = T_{0}, T_{B} = T_{C} = 2 T_{0} .

$B \to C$ 를 따라 온도는 변하지만 양 끝점에서 같은 값으로 돌아온다. 물질량이 일정할 때 이상기체의 내부 에너지는 온도에만 의존하므로 $Δ U_{B \to C} = 0$ 이다.

문제 4. 기체가 받은 일은

W_{A B} = 0, W_{B C} = - \int_{V_{0}}^{2 V_{0}} P (V) d V = - \frac{3}{2} P_{0} V_{0}, W_{C A} = - P_{0} Δ V = P_{0} V_{0} .

따라서

W_{cycle} = - \frac{1}{2} P_{0} V_{0}

부호가 음수이므로 기체는 사이클 동안 외부에 일을 한다. 그 절댓값은 밑변이 $V_{0}$ , 높이가 $P_{0}$ 인 삼각형의 면적과 같으며, 직각삼각형의 면적 공식 $A = \frac{1}{2} 밑변 \times 높이$ 로 확인할 수 있다.

문제 5.

n R T_{0} = P_{0} V_{0}

이므로

과정 A \to B B \to C C \to A W 0 - \frac{3}{2} P_{0} V_{0} P_{0} V_{0} Δ U \frac{c _{V}}{R} P_{0} V_{0} 0 - \frac{c _{V}}{R} P_{0} V_{0} Q = Δ U - W \frac{c _{V}}{R} P_{0} V_{0} \frac{3}{2} P_{0} V_{0} - (\frac{c _{V}}{R} + 1) P_{0} V_{0}

세 과정을 합하면

Δ U_{cycle} = 0, Q_{cycle} = \frac{1}{2} P_{0} V_{0} = - W_{cycle}

문제 6. $a = c_{V} / R$ , $x = V / V_{0}$ 로 놓자. $B \to C$ 과정에서 $P = P_{0} (3 - x)$ , $T = T_{0} (3 x - x^{2})$ 이다. 열역학 제1법칙에 따르면

δ Q = d U - δ W = P_{0} V_{0} [3 (a + 1) - (2 a + 1) x] d x .

이 미소 열량은

x_{⋆} = \frac{3 ( a + 1 )}{2 a + 1}

에서 0이 된다. $a > 1$ 이면 $1 < x_{⋆} < 2$ 이다. 기체는 $B$ 에서 가로좌표가 $x_{⋆}$ 인 점까지 열을 받은 다음 $C$ 까지 열을 내놓는다. 또한 $A \to B$ 에서 열 $Q_{A B} = a P_{0} V_{0}$ 을 받는다. 따라서

Q_{in} = P_{0} V_{0} [a + \int_{1}^{x_{⋆}} (3 (a + 1) - (2 a + 1) x) d x] = P_{0} V_{0} [a + \frac{( a + 2 ) ^{2}}{2 ( 2 a + 1 )}] .

그러므로 효율은

η = \frac{\frac{1}{2} P _{0} V _{0}}{Q _{in}} = \frac{2 a + 1}{5 a ^{2} + 6 a + 4}, a = \frac{c _{V}}{R}

단원자 이상기체에서는 $a = \frac{3}{2}$ 이므로

η = \frac{16}{97} ≃ 16, 5 %.