문제

몰 열용량 $c_V$ 가 일정한 이상기체 $n$ 몰이 다음 준정적 사이클 $A\to B\to C\to A$ 를 수행한다.

A=(P_0,V_0), \qquad B=(2P_0,V_0), \qquad C=(P_0,2V_0).

$A\to B$ 과정은 등적 과정이고, $B\to C$ 과정은 $(P,V)$ 평면에서의 직선 선분이며, $C\to A$ 과정은 등압 과정이다.

동력 사이클의 효율은 다음과 같이 정의된다.

\eta=\frac{W_{\mathrm{fourni}}}{Q_{\mathrm{in}}} =\frac{-W_{\mathrm{cycle}}}{Q_{\mathrm{in}}},

여기서 $Q_{\mathrm{in}}$ 은 사이클 중 기체가 받는 $\delta Q>0$ 인 미소 열전달량의 합이다.

사이클을 클라페롱 선도에 나타내고 진행 방향을 명시하라. 동력 사이클인가, 냉동 사이클인가?
$B$ 와 $C$ 를 잇는 직선의 방정식 $P(V)$ 를 구하라.
$T_0=P_0V_0/(nR)$ 로 놓고 온도 $T_A$ , $T_B$ , $T_C$ 를 구하라. 이 과정이 등온 과정이 아닌데도 $\Delta U_{B\to C}$ 가 0인 이유는 무엇인가?
세 과정 각각과 전체 사이클에서 기체가 받은 일을 계산하라. 삼각형의 면적으로부터 전체 일의 절댓값을 다시 구하라.
각 과정에서 $\Delta U$ 와 $Q$ 를 $P_0$ , $V_0$ , $c_V$ 만으로 나타낸 뒤, $\Delta U_{\mathrm{cycle}}=0$ 과 $Q_{\mathrm{cycle}}=-W_{\mathrm{cycle}}$ 을 확인하라.
$a = \frac{c_V}{R} >1$ , $x = V/V_0$ 로 놓고 $B\to C$ 과정의 한 점에서 $\delta Q$ 의 부호가 바뀜을 보여라. 이로부터 $Q_{\mathrm{in}}$ 과 사이클의 효율 $\eta$ 를 구하라. $c_V=\frac32R$ 인 단원자 이상기체에 대한 값을 구하라.

힌트

B\to C

에서

B

와

C

를 지난다는 조건으로

P(V)=aV+b

를 구하라. 내부 에너지 변화를 계산할 때에는 과정 양 끝점의 온도만 필요하다. 문제 6에서는 미분형 열역학 제1법칙을 사용하라.

자세한 풀이

풀이

문제 1—2. 사이클은 시계 방향으로 진행되며 동력 사이클이다. 직선

B\to C

의 방정식은

P(V)=P_0\left(3-\frac{V}{V_0}\right).

문제 3. 상태 방정식으로부터

T_A=T_0, \qquad T_B=T_C=2T_0.

$B\to C$ 를 따라 온도는 변하지만 양 끝점에서 같은 값으로 돌아온다. 물질량이 일정할 때 이상기체의 내부 에너지는 온도에만 의존하므로 $\Delta U_{B\to C}=0$ 이다.

문제 4. 기체가 받은 일은

W_{AB}=0, \qquad W_{BC}=-\int_{V_0}^{2V_0}P(V)\,dV=-\frac32P_0V_0, \qquad W_{CA}=-P_0 \Delta V = P_0V_0.

따라서

\boxed{W_{\mathrm{cycle}}=-\frac12P_0V_0}.

부호가 음수이므로 기체는 사이클 동안 외부에 일을 한다. 그 절댓값은 밑변이 $V_0$ , 높이가 $P_0$ 인 삼각형의 면적과 같으며, 직각삼각형의 면적 공식 $A=\frac12\text{밑변}\times\text{높이}$ 로 확인할 수 있다.

문제 5. $nRT_0=P_0V_0$ 이므로

\begin{aligned} \begin{array}{c|c|c|c} \text{과정} & W & \Delta U & Q=\Delta U-W\\ \hline A\to B & 0 & \dfrac{c_V}{R}P_0V_0 & \dfrac{c_V}{R}P_0V_0\\[4pt] B\to C & -\dfrac32P_0V_0 & 0 & \dfrac32P_0V_0\\[4pt] C\to A & P_0V_0 & -\dfrac{c_V}{R}P_0V_0 & -\left(\dfrac{c_V}{R}+1\right)P_0V_0 \end{array} \end{aligned}

세 과정을 합하면

\boxed{ \Delta U_{\mathrm{cycle}}=0, \qquad Q_{\mathrm{cycle}}=\frac12P_0V_0=-W_{\mathrm{cycle}}. }

문제 6. $a=c_V/R$ , $x=V/V_0$ 로 놓자. $B\to C$ 과정에서 $P=P_0(3-x)$ , $T=T_0(3x-x^2)$ 이다. 열역학 제1법칙에 따르면

\delta Q=\mathrm{d}U-\delta W =P_0V_0\left[3(a+1)-(2a+1)x\right]\mathrm{d}x.

이 미소 열량은

x_\star=\frac{3(a+1)}{2a+1}

에서 0이 된다. $a>1$ 이면 $1<x_\star<2$ 이다. 기체는 $B$ 에서 가로좌표가 $x_\star$ 인 점까지 열을 받은 다음 $C$ 까지 열을 내놓는다. 또한 $A\to B$ 에서 열 $Q_{AB}=aP_0V_0$ 을 받는다. 따라서

\begin{aligned} Q_{\mathrm{in}} &=P_0V_0\left[ a+\int_1^{x_\star}\left(3(a+1)-(2a+1)x\right)\mathrm{d}x \right]\\ &=P_0V_0\left[a+\frac{(a+2)^2}{2(2a+1)}\right]. \end{aligned}

그러므로 효율은

\boxed{ \eta =\frac{\frac12P_0V_0}{Q_{\mathrm{in}}} =\frac{2a+1}{5a^2+6a+4}, \qquad a=\frac{c_V}{R}. }

단원자 이상기체에서는 $a=\frac32$ 이므로

\eta=\frac{16}{97}\simeq16{,}5\,\%.