풀이가 있는 열역학 연습문제

다방 변환 PVk=상수PV^k=\text{상수}의 일

연습문제 14 · 단원 5 — 이상 기체에의 응용

  • 다방 변환
  • 압력 힘의 일
  • 라플라스 법칙

문제

PVk=상수PV^k=\text{상수}를 만족하는 이상기체의 준정적 변환을 생각하자. 여기서 k∈Rk\in\mathbb{R}이고 k≠1k\neq1이다.

  1. WA→BW_{A\to B}를 PA,VA,PB,VB,kP_A,V_A,P_B,V_B,k로 나타내어 계산하라.
  2. 등압 변환(k=0k=0)에 대한 결과를 다시 구하라.
  3. 등적 변환에서는 어떤 값인가(앞의 공식을 사용하지 말 것)?
  4. k=1k=1이면 어떻게 되는가? W=−nRTln⁡(VB/VA)W=-nRT\ln(V_B/V_A)를 다시 구하라.

힌트
C=PAVAkC=P_AV_A^k로 놓고 P(V)=CV−kP(V)=CV^{-k}를 적분한 뒤 CV1−k=PVCV^{1-k}=PV를 사용하라.

자세한 풀이

풀이
문제 1. 다방 관계식은

PVk=C,P(V)=CV−k,C=PAVAk=PBVBkPV^k=C, \qquad P(V)=CV^{-k}, \qquad C=P_AV_A^k=P_BV_B^k

로 쓸 수 있다. 은행가 부호 규약에 따라 기체가 받은 일은

WA→B=−∫VAVBP(V) dV=−C∫VAVBV−k dV.W_{A\to B} =-\int_{V_A}^{V_B}P(V)\,\mathrm{d}V =-C\int_{V_A}^{V_B}V^{-k}\,\mathrm{d}V.

k≠1k\neq1이면 V−kV^{-k}의 한 부정적분은 V1−k/(1−k)V^{1-k}/(1-k)이다. 따라서

WA→B=−C1−k(VB1−k−VA1−k)=CVA1−k−CVB1−k1−k.W_{A\to B} =-\frac{C}{1-k} \left(V_B^{1-k}-V_A^{1-k}\right) =\frac{CV_A^{1-k}-CV_B^{1-k}}{1-k}.

그런데

CVA1−k=PAVA,CVB1−k=PBVB.CV_A^{1-k}=P_AV_A, \qquad CV_B^{1-k}=P_BV_B.

결국

WA→B=PAVA−PBVB1−k=PBVB−PAVAk−1.\boxed{ W_{A\to B} =\frac{P_AV_A-P_BV_B}{1-k} =\frac{P_BV_B-P_AV_A}{k-1} }.

문제 2. k=0k=0이면 관계식 PV0=CPV^0=C는 P=CP=C가 되어 등압 변환을 나타낸다. PA=PB=PP_A=P_B=P이므로

WA→B=PAVA−PBVB=P(VA−VB)=−P(VB−VA)=−PΔV.W_{A\to B} =P_AV_A-P_BV_B =P(V_A-V_B) =-P(V_B-V_A) =-P\Delta V.

등압 변환에서의 일에 대한 식을 그대로 다시 얻는다.

문제 3. 등적 변환에서는 VB=VAV_B=V_A이고 매 순간 dV=0\mathrm{d}V=0이다. 따라서

WA→B=−∫ABP dV=0.W_{A\to B}=-\int_A^B P\,\mathrm{d}V=0.

자명하지 않은 등적 변환은 어떠한 유한한 kk 값에도 해당하지 않는다. VV가 일정하면 PVk=상수PV^k=\text{상수} 관계식은 PP도 일정하도록 강제하기 때문이다. 등적 변환은 형식적인 극한 k→∞k\to\infty로만 볼 수 있다.

문제 4. k=1k=1이면 피적분 함수는 1/V1/V에 비례한다. 부정적분이 더 이상 거듭제곱 함수가 아니라 로그 함수이므로 적분을 별도로 다시 해야 한다. 다방 관계식은

PV=CPV=C

가 된다. 닫힌 이상기체에 대해 PV=nRTPV=nRT이므로 온도는 일정하고 C=nRTC=nRT이다. 따라서 기체가 받은 일은

WA→B=−∫VAVBnRTV dV=−nRTln⁡ ⁣(VBVA).W_{A\to B} =-\int_{V_A}^{V_B}\frac{nRT}{V}\,\mathrm{d}V =-nRT\ln\!\left(\frac{V_B}{V_A}\right).

압축에서는 VB/VA<1V_B/V_A<1이므로 로그가 음수이고, 예상대로 WA→B>0W_{A\to B}>0이다.