풀이가 있는 열역학 연습문제

다방 변환 $P V^{k} = 상수$ 의 일

연습문제 22 · 단원 5 — 이상 기체에의 응용

문제

$P V^{k} = 상수$ 를 만족하는 이상기체의 준정적 변환을 생각하자. 여기서 $k \in R$ 이고 $k \neq = 1$ 이다.

힌트

C = P_{A} V_{A}^{k}

로 놓고

P (V) = C V^{- k}

를 적분한 뒤

C V^{1 - k} = P V

를 사용하라.

풀이

문제 1. 다방 관계식은

P V^{k} = C, P (V) = C V^{- k}, C = P_{A} V_{A}^{k} = P_{B} V_{B}^{k}

로 쓸 수 있다. 은행가 부호 규약에 따라 기체가 받은 일은

W_{A \to B} = - \int_{V_{A}}^{V_{B}} P (V) d V = - C \int_{V_{A}}^{V_{B}} V^{- k} d V .

$k \neq = 1$ 이면 $V^{- k}$ 의 한 부정적분은 $V^{1 - k} / (1 - k)$ 이다. 따라서

W_{A \to B} = - \frac{C}{1 - k} (V_{B}^{1 - k} - V_{A}^{1 - k}) = \frac{C V _{A}^{1 - k} - C V _{B}^{1 - k}}{1 - k} .

그런데

C V_{A}^{1 - k} = P_{A} V_{A}, C V_{B}^{1 - k} = P_{B} V_{B} .

결국

W_{A \to B} = \frac{P _{A} V _{A} - P _{B} V _{B}}{1 - k} = \frac{P _{B} V _{B} - P _{A} V _{A}}{k - 1}

문제 2. $k = 0$ 이면 관계식 $P V^{0} = C$ 는 $P = C$ 가 되어 등압 변환을 나타낸다. $P_{A} = P_{B} = P$ 이므로

W_{A \to B} = P_{A} V_{A} - P_{B} V_{B} = P (V_{A} - V_{B}) = - P (V_{B} - V_{A}) = - P Δ V .

등압 변환에서의 일에 대한 식을 그대로 다시 얻는다.

문제 3. 등적 변환에서는

V_{B} = V_{A}

이고 매 순간

d V = 0

이다. 따라서

W_{A \to B} = - \int_{A}^{B} P d V = 0.

자명하지 않은 등적 변환은 어떠한 유한한 $k$ 값에도 해당하지 않는다. $V$ 가 일정하면 $P V^{k} = 상수$ 관계식은 $P$ 도 일정하도록 강제하기 때문이다. 등적 변환은 형식적인 극한 $k \to \infty$ 로만 볼 수 있다.

문제 4.

k = 1

이면 피적분 함수는

1/ V

에 비례한다. 부정적분이 더 이상 거듭제곱 함수가 아니라 로그 함수이므로 적분을 별도로 다시 해야 한다. 다방 관계식은

P V = C

가 된다. 닫힌 이상기체에 대해 $P V = n R T$ 이므로 온도는 일정하고 $C = n R T$ 이다. 따라서 기체가 받은 일은

W_{A \to B} = - \int_{V_{A}}^{V_{B}} \frac{n R T}{V} d V = - n R T ln (\frac{V _{B}}{V _{A}}) .

압축에서는 $V_{B} / V_{A} < 1$ 이므로 로그가 음수이고, 예상대로 $W_{A \to B} > 0$ 이다.