풀이가 있는 열역학 연습문제

일정 압력 가열: cPc_P의 발견

연습문제 13 · 단원 5 — 이상 기체에의 응용

  • 열용량
  • 일정 압력
  • 마이어 관계식
  • 등압 가열
  • 이상기체

문제

몰 열용량이 cVc_V인 이상기체 1몰이 처음 부피가 V0V_0인 실린더에 들어 있다. 실린더는 마찰 없이 움직이는 단열 피스톤으로 닫혀 있으며, 피스톤에는 일정한 외부 압력 P0P_0가 작용한다. 기체 내부의 전기 저항기가 준정적으로 열 Q>0Q>0을 기체에 전달한다.

  1. 장치의 간단한 개략도를 그려라. 기체, 피스톤, 저항기, 외부 압력 P0P_0, 에너지 교환을 표시하라.
  2. 수치를 사용하지 말고 처음 온도 T0T_0를 나타낸 뒤, 마지막 상태 (Pf,Vf,Tf)(P_f,V_f,T_f), 기체가 받은 일 WW, 내부 에너지 변화 ΔU\Delta U를 구하라.
  3. 일정 압력에서의 몰 열용량 cP=(δQ/dT)Pc_P=(\delta Q/\mathrm{d}T)_P를 cVc_V와 RR로 나타내어라.
  4. 단원자 이상기체에 대한 수치 적용: cV=32Rc_V=\frac32R, V0=25 LV_0=25\ \mathrm{L}, P0=1,0×105 PaP_0=1{,}0\times10^5\ \mathrm{Pa}, Q=1000 JQ=1000\ \mathrm{J}, 그리고 R=8,314 J mol−1 K−1R=8{,}314\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}.

힌트
변환은 등압 변환이다. W=−P0 ΔVW=-P_0\,\Delta V를 사용하라. 이상기체 1몰에서는 P0 ΔV=R ΔTP_0\,\Delta V=R\,\Delta T이다. 이 관계들을 열역학 제1법칙에 대입하라.

자세한 풀이

풀이
문제 1. 개략도에는 움직이는 피스톤으로 닫힌 실린더 안의 기체가 나타나야 한다. 실린더 내부의 화살표는 저항기가 전달한 열 QQ를 나타낸다. 외부 압력 P0P_0가 피스톤에 작용하며, 기체가 팽창하면 피스톤은 위로 움직인다.

문제 2. 처음 상태 방정식으로부터

T0=P0V0R.T_0=\frac{P_0V_0}{R}.

압력은 일정하므로 Pf=P0P_f=P_0이다. 또한 W=−P0ΔV=−RΔTW=-P_0\Delta V=-R\Delta T이다. 따라서 열역학 제1법칙은

ΔU=cVΔT=Q+W=Q−RΔT\Delta U=c_V\Delta T=Q+W=Q-R\Delta T

를 주며, 여기에서

ΔT=QcV+R.\Delta T=\frac{Q}{c_V+R}.

그러므로 마지막 상태는

Pf=P0,Tf=T0+QcV+R,Vf=V0+RQP0(cV+R).P_f=P_0,\qquad T_f=T_0+\frac{Q}{c_V+R},\qquad V_f=V_0+\frac{RQ}{P_0(c_V+R)}.

마지막으로

W=−RQcV+R,ΔU=cVQcV+R.W=-\frac{RQ}{c_V+R}, \qquad \Delta U=\frac{c_VQ}{c_V+R}.

문제 3. 일정 압력에서 Q=(cV+R)ΔTQ=(c_V+R)\Delta T이므로

cP=cV+R.c_P=c_V+R.

이것이 마이어 관계식이다.

문제 4. 단원자 기체에 대해

cP=52R≃20,8 J mol−1 K−1.c_P=\frac52R\simeq20{,}8\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}.

다음을 얻는다.

T0≃301 K,ΔT≃48,1 K,Tf≃349 K,Vf=29,0 L.T_0\simeq301\ \mathrm{K},\qquad \Delta T\simeq48{,}1\ \mathrm{K},\qquad T_f\simeq349\ \mathrm{K},\qquad V_f=29{,}0\ \mathrm{L}.

마지막으로

W=−400 J,ΔU=600 J.W=-400\ \mathrm{J},\qquad \Delta U=600\ \mathrm{J}.