풀이가 있는 열역학 연습문제

일정 압력 가열: $c_{P}$ 의 발견

연습문제 21 · 단원 5 — 이상 기체에의 응용

열용량
일정 압력
마이어 관계식
등압 가열
이상기체

문제

몰 열용량이 $c_{V}$ 인 이상기체 1몰이 처음 부피가 $V_{0}$ 인 실린더에 들어 있다. 실린더는 마찰 없이 움직이는 단열 피스톤으로 닫혀 있으며, 피스톤에는 일정한 외부 압력 $P_{0}$ 가 작용한다. 기체 내부의 전기 저항기가 준정적으로 열 $Q > 0$ 을 기체에 전달한다.

장치의 간단한 개략도를 그려라. 기체, 피스톤, 저항기, 외부 압력 $P_{0}$ , 에너지 교환을 표시하라.
수치를 사용하지 말고 처음 온도 $T_{0}$ 를 나타낸 뒤, 마지막 상태 $(P_{f}, V_{f}, T_{f})$ , 기체가 받은 일 $W$ , 내부 에너지 변화 $Δ U$ 를 구하라.
일정 압력에서의 몰 열용량 $c_{P} = (δ Q / d T)_{P}$ 를 $c_{V}$ 와 $R$ 로 나타내어라.
단원자 이상기체에 대한 수치 적용: $c_{V} = \frac{3}{2} R$ , $V_{0} = 25 L$ , $P_{0} = 1, 0 \times 1 0^{5} Pa$ , $Q = 1000 J$ , 그리고 $R = 8, 314 J mo l^{- 1} K^{- 1}$ .

힌트

변환은 등압 변환이다.

W = - P_{0} Δ V

를 사용하라. 이상기체 1몰에서는

P_{0} Δ V = R Δ T

이다. 이 관계들을 열역학 제1법칙에 대입하라.

자세한 풀이

풀이

문제 1. 개략도에는 움직이는 피스톤으로 닫힌 실린더 안의 기체가 나타나야 한다. 실린더 내부의 화살표는 저항기가 전달한 열

Q

를 나타낸다. 외부 압력

P_{0}

가 피스톤에 작용하며, 기체가 팽창하면 피스톤은 위로 움직인다. 문제 2. 처음 상태 방정식으로부터

T_{0} = \frac{P _{0} V _{0}}{R} .

압력은 일정하므로 $P_{f} = P_{0}$ 이다. 또한 $W = - P_{0} Δ V = - R Δ T$ 이다. 따라서 열역학 제1법칙은

Δ U = c_{V} Δ T = Q + W = Q - R Δ T

를 주며, 여기에서

Δ T = \frac{Q}{c _{V} + R} .

그러므로 마지막 상태는

P_{f} = P_{0}, T_{f} = T_{0} + \frac{Q}{c _{V} + R}, V_{f} = V_{0} + \frac{R Q}{P _{0} ( c _{V} + R )} .

마지막으로

W = - \frac{R Q}{c _{V} + R}, Δ U = \frac{c _{V} Q}{c _{V} + R} .

문제 3. 일정 압력에서 $Q = (c_{V} + R) Δ T$ 이므로

c_{P} = c_{V} + R .

이것이 마이어 관계식이다.

문제 4. 단원자 기체에 대해

c_{P} = \frac{5}{2} R ≃ 20, 8 J mo l^{- 1} K^{- 1} .

다음을 얻는다.

T_{0} ≃ 301 K, Δ T ≃ 48, 1 K, T_{f} ≃ 349 K, V_{f} = 29, 0 L .

마지막으로

W = - 400 J, Δ U = 600 J .