직사각형 냉동 사이클?

문제 1. 점 $A$, $B$, $C$, $D$는 각각 왼쪽 아래, 오른쪽 아래, 오른쪽 위, 왼쪽 위에 있다. $A\to B$와 $C\to D$는 등압 과정이고, $B\to C$와 $D\to A$는 등적 과정이다. $A\to B\to C\to D\to A$는 반시계 방향으로 진행된다.

문제 2. 기체가 받은 일은

$$W=-\int P_{\mathrm{ext}}\mathrm{d}V.$$

등적 과정 $B\to C$와 $D\to A$에서는 0이다. 두 등압 과정에서는

$$W_{AB}=-P_1(V_2-V_1)=-P_1\Delta V,W_{CD}=-P_2(V_1-V_2)=P_2\Delta V.$$

따라서

$$\boxed{W_{\mathrm{cycle}}=(-P_1+P_2)\Delta V=\Delta P\Delta V>0}$$

이 값은 클라페롱 선도에서 직사각형의 면적과 같다.

문제 3. 단원자 이상기체에 대해

$$\Delta U=n{c}_V\Delta T=\frac{3}{2}nR\Delta T.$$

등압 과정에서 상태 방정식은 $nR\Delta T=P\Delta V_{\mathrm{branch}}$을 준다. 따라서

$$\Delta U_{AB}=\frac{3}{2}{P}_1\Delta V,\Delta U_{CD}=-\frac{3}{2}{P}_2\Delta V.$$

등적 과정에서는 $nR\Delta T=V\Delta P_{\mathrm{branch}}$이므로

$$\Delta U_{BC}=\frac{3}{2}{V}_2\Delta P,\Delta U_{DA}=-\frac{3}{2}{V}_1\Delta P.$$

마지막으로 열역학 제1법칙 $\Delta U=Q+W$, 즉 $Q=\Delta U-W$를 적용하면 다음 표를 얻는다.

$$\begin{array}{r}\begin{array}{cccc}\text{과정}& W& \Delta U& Q=\Delta U-W\\ A\to B& -P_1\Delta V& \frac{3}{2}{P}_1\Delta V& \frac{5}{2}{P}_1\Delta V\\ B\to C& 0& \frac{3}{2}{V}_2\Delta P& \frac{3}{2}{V}_2\Delta P\\ C\to D& P_2\Delta V& -\frac{3}{2}{P}_2\Delta V& -\frac{5}{2}{P}_2\Delta V\\ D\to A& 0& -\frac{3}{2}{V}_1\Delta P& -\frac{3}{2}{V}_1\Delta P\end{array}\end{array}$$

문제 4. 사이클에서는 모든 상태 함수와 마찬가지로 내부 에너지 변화의 합이 0이다. 따라서 제1법칙에 의해

$$Q_{\mathrm{cycle}}=-W_{\mathrm{cycle}}=-\Delta P\Delta V<0.$$

기체는 전체적으로 일을 받는다. 이 사이클은 일을 받는 역사이클이다. 표에 따르면 기체는 $A\to B$와 $B\to C$에서 열을 받고, $C\to D$와 $D\to A$에서 열을 내놓는다.

$$Q_{\mathrm{in}}=Q_{AB}+Q_{BC}=\frac{5}{2}{P}_1\Delta V+\frac{3}{2}{V}_2\Delta P,Q_{\mathrm{out}}=-(Q_{CD}+Q_{DA})=\frac{5}{2}{P}_2\Delta V+\frac{3}{2}{V}_1\Delta P.$$

두 식의 차를 구하고 $P_2-P_1=\Delta P$, $V_2-V_1=\Delta V$를 쓰면

$$Q_{\mathrm{out}}-Q_{\mathrm{in}}=\frac{5}{2}\Delta P\Delta V-\frac{3}{2}\Delta P\Delta V=\Delta P\Delta V=W_{\mathrm{cycle}},$$

따라서

$$\boxed{Q_{\mathrm{out}}=Q_{\mathrm{in}}+W_{\mathrm{cycle}}}$$

한 사이클 동안 기체는 받은 에너지 전부를, 열과 일을 모두 포함하여, 열의 형태로 내놓는다.

문제 5. 상태 방정식에 의해 각 꼭짓점에서 $T=PV/(nR)$이다.

$$T_A=\frac{P_1{V}_1}{nR},T_B=\frac{P_1{V}_2}{nR},T_C=\frac{P_2{V}_2}{nR},T_D=\frac{P_2{V}_1}{nR}.$$

$P_1<P_2$이고 $V_1<V_2$이므로 곱 $PV$는 $A$에서 가장 작고 $C$에서 가장 크다. $T_A$는 사이클의 최저 온도, $T_C$는 최고 온도이며, $T_B$와 $T_D$는 그 중간이다.

등압 과정 $A\to B$에서는 압력이 일정한 채 $V$가 증가하므로 $T$는 $T_A$에서 $T_B$로 올라간다. 등적 과정 $B\to C$에서는 부피가 일정한 채 $P$가 증가하므로 $T$는 $T_B$에서 $T_C$로 올라간다. 마찬가지로 $T$는 $C\to D$에서 $T_C$에서 $T_D$로, 이어서 $D\to A$에서 $T_D$에서 $T_A$로 내려간다. 따라서 기체는 온도가 최저값 $T_A$에서 최고값 $T_C$까지 올라가는 동안 열을 받고, 온도가 $T_C$에서 $T_A$로 다시 내려가는 동안 열을 내놓는다. 문제 6. 열을 받으려면 기체는 적어도 자신만큼 뜨거운 열원과 접촉해 있어야 한다. 준정적 극한에서 열원의 온도는 기체의 온도를 따라간다. 따라서 기체에 열을 주는 열원의 온도는 $T_A$부터 사이클의 최고 온도 $T_C$까지 걸쳐 있다. 반대로 기체의 열을 받는 열원의 온도는 $T_C$부터 사이클의 최저 온도 $T_A$까지 걸쳐 있다. 즉 분리된 저온 쪽과 고온 쪽이 없다. 기체는 매우 뜨거운 열원에서 열을 가져오고 매우 차가운 열원에 열을 준다. 냉장고는 가장 낮은 온도에서 열을 빼내고 가장 높은 온도에서 열을 버려야 하므로, 이 사이클은 냉장고로 쓸 수 없다. 이 사이클은 일을 받아 그것을 전부 열로 되돌려주며($Q_{\mathrm{cycle}}=-W_{\mathrm{cycle}}$), 그 과정에서 여러 온도의 열원 사이에 열을 재분배한다. 반대로 냉장고는 사이클의 가장 차가운 부분에서 열을 흡수하고 가장 뜨거운 부분에서 열을 방출해야 한다. 제6과에서 다루는, 반대 방향으로 운전하는 카르노 사이클이 바로 그러하다. 여기서 기체는 저온 등온선을 따라 열을 받고 고온 등온선을 따라 열을 내놓는다. 따라서 사이클이 일을 받는다는 것만으로는 냉동 사이클이 되기에 충분하지 않다. 문제 7. 여기서 $\Delta P=2,0\times 10^5$ Pa, $\Delta V=1,0\times 10^{-2}$ m${}^3$이다.

$$\begin{array}{r}\begin{array}{crrr}\text{과정}& W(\mathrm{J})& \Delta U(\mathrm{J})& Q(\mathrm{J})\\ A\to B& -1000& 1500& 2500\\ B\to C& 0& 4500& 4500\\ C\to D& 3000& -4500& -7500\\ D\to A& 0& -1500& -1500\end{array}\end{array}$$

따라서 $W_{\mathrm{cycle}}=+2000\mathrm{J}$, $Q_{\mathrm{cycle}}=-2000\mathrm{J}$, $\Delta U_{\mathrm{cycle}}=0$이다. 받은 열은 $Q_{\mathrm{in}}=2500+4500=7000\mathrm{J}$이고 내놓은 열은 $Q_{\mathrm{out}}=7500+1500=9000\mathrm{J}=Q_{\mathrm{in}}+W_{\mathrm{cycle}}$이다. 온도의 비는 $n$에 의존하지 않는다.

$$\frac{T_B}{T_A}=\frac{V_2}{V_1}=3,\frac{T_C}{T_A}=\frac{P_2{V}_2}{P_1{V}_1}=9,\frac{T_D}{T_A}=\frac{P_2}{P_1}=3.$$

사이클의 최저 온도가 차가운 칸의 온도, 예를 들어 $T_A=270\mathrm{K}$라면, 기체는 $T_C=9T_A\simeq 2400\mathrm{K}$에 이르는 열원으로부터도 열을 받아야 한다. 이런 사이클이 그 칸을 냉각하지 못한다는 것은 분명하다.