풀이가 있는 열역학 연습문제

직사각형 냉동 사이클

연습문제 15 · 단원 5 — 이상 기체에의 응용

  • 열역학 사이클
  • 직사각형 사이클
  • 클라페롱 선도
  • 일
  • 열
  • 면적
  • 이상기체
  • 냉동 사이클
  • 냉동기
  • COP

문제

U=32nRTU=\frac{3}{2}nRT인 단원자 이상기체 nn몰이 다음 반시계 방향의 준정적 직사각형 사이클을 수행한다.

A(P1,V1)→B(P1,V2)→C(P2,V2)→D(P2,V1)→A,A(P_1,V_1)\to B(P_1,V_2)\to C(P_2,V_2) \to D(P_2,V_1)\to A,

여기서 V2>V1V_2>V_1이고 P2>P1P_2>P_1이다. 다음과 같이 표기한다.

ΔP=P2−P1>0,ΔV=V2−V1>0.\Delta P=P_2-P_1>0, \qquad \Delta V=V_2-V_1>0.

이 냉동 사이클을 냉동기의 모형으로 사용한다. 냉동 성능계수(COP)는 다음과 같이 정의된다.

COP=QfWin=QfWcycle,\mathrm{COP}=\frac{Q_f}{W_{\mathrm{in}}} =\frac{Q_f}{W_{\mathrm{cycle}}},

여기서 Qf>0Q_f>0는 기체가 열을 받는 과정에서 저온 열원으로부터 빼앗은 총열량이고, Wcycle>0W_{\mathrm{cycle}}>0는 기체가 받은 순일이다.

  1. 사이클을 클라페롱 선도 (P,V)(P,V)에 나타내고 각 과정의 종류를 명시하라.
  2. 네 과정 각각에서 기체가 받은 일을 변화하는 ΔV\Delta V로 나타내어 계산한 뒤, 전체 일을 ΔP\Delta P와 ΔV\Delta V로 나타내어라. 직사각형의 면적으로부터 그 값을 다시 구하라.
  3. 각 과정에서 ΔU\Delta U와 QQ를 P1P_1, P2P_2, V1V_1, V2V_2, ΔP\Delta P, ΔV\Delta V로 나타내어라. 등적 과정에서는 ΔP\Delta P, 등압 과정에서는 ΔV\Delta V를 사용하라.
  4. ΔUcycle=0\Delta U_{\mathrm{cycle}}=0과 Qcycle=−WcycleQ_{\mathrm{cycle}}=-W_{\mathrm{cycle}}을 확인하라. 이 사이클은 동력 사이클인가, 냉동 사이클인가? 기체는 어느 과정에서 열을 받고 어느 과정에서 열을 내놓는가? 저온 열원과 고온 열원을 식별하여 이 열교환을 해석하라. 여기에서 냉각되는 것은 무엇인가?
  5. 사이클의 냉동 COP를 P1P_1, P2P_2, V1V_1, V2V_2로 나타내어라.
  6. COP의 물리적 의미를 설명하라. 열기관의 효율과 달리 COP가 1보다 클 수 있는 이유는 무엇인가?
  7. 수치 적용: P1=1,0P_1=1{,}0 bar, P2=3,0P_2=3{,}0 bar, V1=5,0V_1=5{,}0 L, V2=15,0V_2=15{,}0 L. 각 과정의 WW와 QQ, 이어서 전체 사이클의 수지와 COP를 구하라.

힌트
등적 과정에서는 nR ΔT=V ΔPnR\,\Delta T=V\,\Delta P이고 일은 0이다. 등압 과정에서는 nR ΔT=P ΔVnR\,\Delta T=P\,\Delta V이고 W=−PΔVW=-P\Delta V이다. 모든 상태 함수는 사이클이 끝나면 처음 값으로 돌아온다.

자세한 풀이

풀이
문제 1. 점 AA, BB, CC, DD는 각각 왼쪽 아래, 오른쪽 아래, 오른쪽 위, 왼쪽 위에 있다. A→BA\to B와 C→DC\to D는 등압 과정이고, B→CB\to C와 D→AD\to A는 등적 과정이다. A→B→C→D→AA\to B\to C\to D\to A는 반시계 방향으로 진행된다.

클라페롱 선도에서의 등압—등적 직사각형 사이클.
그림 1. 클라페롱 선도에서의 등압—등적 직사각형 사이클.

문제 2. 기체가 받은 일은

W=−∫Pext dV.W=-\int P_{\mathrm{ext}}\,\mathrm dV.

등적 과정 B→CB\to C와 D→AD\to A에서는 0이다. 두 등압 과정에서는

WAB=−P1(V2−V1)=−P1ΔV,WCD=−P2(V1−V2)=P2ΔV.W_{AB}=-P_1(V_2-V_1)=-P_1\Delta V, \qquad W_{CD}=-P_2(V_1-V_2)=P_2\Delta V.

따라서

Wcycle=(−P1+P2)ΔV=ΔP ΔV>0.\boxed{W_{\mathrm{cycle}} =(-P_1+P_2)\Delta V =\Delta P\,\Delta V>0}.

이 값은 클라페롱 선도에서 직사각형의 면적과 같다.

문제 3. 단원자 이상기체에 대해

ΔU=ncVΔT=32nRΔT.\Delta U=nc_V\Delta T=\frac32nR\Delta T.

등압 과정에서 상태 방정식은 nRΔT=PΔVbranchenR\Delta T=P\Delta V_{\mathrm{branche}}을 준다. 따라서

ΔUAB=32P1ΔV,ΔUCD=−32P2ΔV.\Delta U_{AB}=\frac32P_1\Delta V, \qquad \Delta U_{CD}=-\frac32P_2\Delta V.

등적 과정에서는 nRΔT=VΔPbranchenR\Delta T=V\Delta P_{\mathrm{branche}}이므로

ΔUBC=32V2ΔP,ΔUDA=−32V1ΔP.\Delta U_{BC}=\frac32V_2\Delta P, \qquad \Delta U_{DA}=-\frac32V_1\Delta P.

마지막으로 열역학 제1법칙 ΔU=Q+W\Delta U=Q+W, 즉 Q=ΔU−WQ=\Delta U-W를 적용하면 다음 표를 얻는다.

과정WΔUQ=ΔU−WA→B−P1ΔV32P1ΔV52P1ΔVB→C032V2ΔP32V2ΔPC→DP2ΔV−32P2ΔV−52P2ΔVD→A0−32V1ΔP−32V1ΔP\begin{aligned} \begin{array}{c|c|c|c} \text{과정} & W & \Delta U & Q=\Delta U-W\\ \hline A\to B & -P_1\Delta V & \frac32P_1\Delta V & \frac52P_1\Delta V\\[2pt] B\to C & 0 & \frac32V_2\Delta P & \frac32V_2\Delta P\\[2pt] C\to D & P_2\Delta V & -\frac32P_2\Delta V & -\frac52P_2\Delta V\\[2pt] D\to A & 0 & -\frac32V_1\Delta P & -\frac32V_1\Delta P \end{array} \end{aligned}

문제 4. 내부 에너지 변화량의 합은 0이다. 따라서 열역학 제1법칙으로부터

Qcycle=−Wcycle=−ΔP ΔV<0.Q_{\mathrm{cycle}}=-W_{\mathrm{cycle}}=-\Delta P\,\Delta V<0.

기체는 전체적으로 일을 받으므로 냉동 사이클이다. 기체는 A→BA\to B와 B→CB\to C에서 열을 받는다. 이 두 과정에서 기체는 접촉하고 있는 저온 열원으로부터 열을 빼앗는다. 그러므로 냉각되는 것은 사이클을 도는 기체 자체가 아니라 이러한 외부 열원, 예를 들어 냉장고 안의 공간과 식품이다.

C→DC\to D와 D→AD\to A에서는 반대로 기체가 고온 열원, 예를 들어 실내 공기에 열을 내놓는다. 이 고온 열원이 받은 총열량을 Qchaud>0Q_{\mathrm{chaud}}>0로 표기하면

Qchaud=−(QCD+QDA)=52P2ΔV+32V1ΔP.Q_{\mathrm{chaud}} =-(Q_{CD}+Q_{DA}) =\frac52P_2\Delta V+\frac32V_1\Delta P.

이처럼 사이클은 받은 일을 이용하여 저온 열원에서 고온 열원으로 열을 전달한다.

문제 5. 기체가 빼앗은 열량은

Qf=QAB+QBC=52P1ΔV+32V2ΔP.Q_f =Q_{AB}+Q_{BC} =\frac52P_1\Delta V+\frac32V_2\Delta P.

따라서

COP=52P1ΔV+32V2ΔPΔP ΔV.\boxed{ \mathrm{COP} =\frac{\frac52P_1\Delta V+\frac32V_2\Delta P} {\Delta P\,\Delta V}. }

문제 6. COP는 투입한 일에 비해 얻은 냉동 효과를 나타낸다. COP가 kk라는 것은 일 1줄을 공급할 때 저온 열원에서 열 kk줄을 빼낼 수 있다는 뜻이다.

열기관의 효율과 달리 COP는 받은 에너지 중 일로 전환된 비율이 아니다. 기체는 일 WinW_{\mathrm{in}}과 저온 열원에서 빼앗은 열 QfQ_f를 모두 받은 뒤, 그 합을 고온 열원으로 방출한다.

Qchaud=Qf+Win.\boxed{Q_{\mathrm{chaud}}=Q_f+W_{\mathrm{in}}}.

따라서 QfQ_f가 WinW_{\mathrm{in}}보다 작아야 할 이유는 없으며, COP가 1보다 커도 에너지 보존 법칙에 전혀 어긋나지 않는다.

문제 7. 여기서 ΔP=2,0×105\Delta P=2{,}0\times10^5 Pa, ΔV=1,0×10−2\Delta V=1{,}0\times10^{-2} m3^3이다.

과정W (J)ΔU (J)Q (J)A→B−100015002500B→C045004500C→D3000−4500−7500D→A0−1500−1500\begin{aligned} \begin{array}{c|r|r|r} \text{과정} & W\ (\mathrm J) & \Delta U\ (\mathrm J) & Q\ (\mathrm J)\\ \hline A\to B & -1000 & 1500 & 2500\\ B\to C & 0 & 4500 & 4500\\ C\to D & 3000 & -4500 & -7500\\ D\to A & 0 & -1500 & -1500 \end{array} \end{aligned}

따라서 Wcycle=+2000W_{\mathrm{cycle}}=+2000 J, Qcycle=−2000Q_{\mathrm{cycle}}=-2000 J, ΔUcycle=0\Delta U_{\mathrm{cycle}}=0이다. 빼앗은 열량은

Qf=2500+4500=7000 JQ_f=2500+4500=7000\ \mathrm{J}

이고, 고온 열원에 방출한 열량은

Qchaud=7500+1500=9000 J=Qf+Wcycle.Q_{\mathrm{chaud}}=7500+1500=9000\ \mathrm{J} =Q_f+W_{\mathrm{cycle}}.

따라서 냉동 성능계수는

COP=70002000=3,5.\mathrm{COP}=\frac{7000}{2000}=3{,}5.