풀이가 있는 열역학 연습문제

단열 과정에서 맥스웰 관계식 확인하기

연습문제 35 · 단원 7 — 수학적 구조: 기본 관계식

문제

조성이 고정된 닫힌계에 대해

d U = T d S - P d V .

몰 열용량 $c_{V}$ 가 일정한 이상기체를 생각하고, $c_{P} - c_{V} = R$ 이며 $γ = c_{P} / c_{V}$ 로 둔다.

$U (S, V)$ 의 미분으로부터 맥스웰 관계식 $(\frac{\partial T}{\partial V})_{S} = - (\frac{\partial P}{\partial S})_{V}$ 를 이끌어 내라.
$T V^{γ - 1} = const$ 로부터 좌변을 계산하라.
$P = n R T / V$ 와 부피가 일정할 때의 $d S = n c_{V} d T / T$ 를 이용하여 우변을 따로 계산하라.
두 결과가 일치함을 확인하라.

힌트

문제 1에서는

T = (\partial U / \partial S)_{V}

와

- P = (\partial U / \partial V)_{S}

를 알아본 뒤 미분 순서를 바꾸어라.

풀이

U

의 자연 변수는

S

와

V

이다. 따라서

T = (\frac{\partial U}{\partial S})_{V}, - P = (\frac{\partial U}{\partial V})_{S} .

$U$ 의 교차 도함수는 서로 같으므로

(\frac{\partial T}{\partial V})_{S} = \frac{\partial ^{2} U}{\partial V \partial S} = - (\frac{\partial P}{\partial S})_{V} .

2. 가역 단열 과정에서는 $T V^{γ - 1} = K$ 이다. 엔트로피를 일정하게 두고 미분하면

V^{γ - 1} d T + T (γ - 1) V^{γ - 2} d V = 0.

$V^{γ - 1} d V$ 로 나누면

(\frac{\partial T}{\partial V})_{S} = - (γ - 1) \frac{T}{V} .

3. 부피가 일정할 때 $P = n R T / V$ 이므로

(\frac{\partial P}{\partial S})_{V} = \frac{n R}{V} (\frac{\partial T}{\partial S})_{V} .

그런데 부피가 일정할 때 $d S = n c_{V} d T / T$ 이므로 $(\partial T / \partial S)_{V} = T / (n c_{V})$ 이다. 따라서

- (\frac{\partial P}{\partial S})_{V} = - \frac{R T}{c _{V} V} .

4. 마이어 관계식에서 $R / c_{V} = (c_{P} - c_{V}) / c_{V} = γ - 1$ 이다. 따라서 우변은 $- (γ - 1) T / V$ 로, 좌변과 정확히 같다.