깁스–뒤앙 관계식과 이상기체의 화학 퍼텐셜

1. 오일러 관계식의 미분은

$$\mathrm{d}U=T\mathrm{d}S+S\mathrm{d}T-P\mathrm{d}V-V\mathrm{d}P+\mu \mathrm{d}n+n\mathrm{d}\mu .$$

여기서 기본 관계식을 빼면 $\mathrm{d}S$, $\mathrm{d}V$, $\mathrm{d}n$ 항이 소거된다. 남는 것은

$$S\mathrm{d}T-V\mathrm{d}P+n\mathrm{d}\mu =0.$$

2. 이 등식을 $n$으로 나누면

$$s\mathrm{d}T-v\mathrm{d}P+\mathrm{d}\mu =0,$$

즉 $\mathrm{d}\mu =-s\mathrm{d}T+v\mathrm{d}P$이다.

3. 온도가 일정하면 $\mathrm{d}T=0$이다. 이상기체에 대해

$$\mathrm{d}\mu =v\mathrm{d}P=\frac{RT}{P}\mathrm{d}P.$$

적분 구간을 명시하여 적분하면

$$\mu (T,P_2)-\mu (T,P_1)=RT{\int }_{P_1}^{P_2}\frac{\mathrm{d}P}{P}=RT\ln \left(\frac{P_2}{P_1}\right).$$

4. $P_2>P_1$이면 $P_2/P_1>1$이고 $\ln (P_2/P_1)>0$이다. $R>0$이고 $T>0$이므로

$$\mu (T,P_2)-\mu (T,P_1)>0.$$

따라서 기체를 등온 압축하면 화학 퍼텐셜이 증가한다. 온도가 같은 두 영역이 물질을 주고받을 수 있으면, 두 퍼텐셜이 같아질 때까지 물질은 화학 퍼텐셜이 높은 영역에서 낮은 영역으로 자발적으로 이동한다.