풀이가 있는 열역학 연습문제

수업 연습문제: 기본 변환

연습문제 9 · 단원 5 — 이상 기체에의 응용

문제

처음 상태가 $A(P_A,V_A,T_i)$ 인 단원자 이상기체 $n$ 몰을 생각하자. 모두 $A$ 에서 출발하며 $T_f>T_i$ 인 세 가지 준정적 변환을 각각 별도로 살펴본다.

은행가 부호 규약을 사용한다. 즉, 기체가 받은 전달량을 양수로 한다.

세 변환을 하나의 클라페롱 선도 $(P,V)$ 에 나타내고 상태 $B$ , $C$ , $D$ 를 식으로 구하라.
세 변환 각각에 대해 $W$ , $\Delta U$ , $Q$ 를 식으로 계산하라.
에너지 전달량의 부호를 설명하라.
수치 적용: $n=1\ \mathrm{mol}$ , $T_i=300\ \mathrm{K}$ , $T_f=500\ \mathrm{K}$ , 그리고 $R=8{,}314\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}$ .

힌트

단원자 이상기체에 대해

\Delta U=\frac32nR\Delta T

이다.

W=-\int P\,\mathrm{d}V

와 열역학 제1법칙

\Delta U=Q+W

를 사용하라.

풀이

문제 1. 이상기체 상태 방정식으로부터

\begin{aligned} \begin{array}{c|c|c|c} \text{상태} & P & V & T \\ \hline A & P_A & V_A & T_i \\ B & P_A\dfrac{T_f}{T_i} & V_A & T_f \\[4pt] C & 2P_A & \dfrac{V_A}{2} & T_i \\[4pt] D & P_A & V_A\dfrac{T_f}{T_i} & T_f \end{array} \end{aligned}

$(P,V)$ 선도에서 $A\to B$ 는 수직선이고, $A\to C$ 는 등온선 $T_i$ 를 따라 왼쪽으로 가며, $A\to D$ 는 오른쪽으로 향하는 수평선이다.

문제 2.

등적 가열 $A\to B$ . $\mathrm{d}V=0$ 이므로

W_{AB}=0, \qquad \Delta U_{AB}=\frac32nR(T_f-T_i), \qquad Q_{AB}=\frac32nR(T_f-T_i).

등온 압축 $A\to C$ . 온도가 일정하므로 $\Delta U_{AC}=0$ 이다. 또한

W_{AC} =-\int_{V_A}^{V_A/2}\frac{nRT_i}{V}\,\mathrm{d}V =nRT_i\ln2, \qquad Q_{AC}=-nRT_i\ln2.

등압 가열 $A\to D$ . 압력이 일정할 때 $P_A(V_D-V_A)=nR(T_f-T_i)$ 이므로

W_{AD}=-nR(T_f-T_i), \qquad \Delta U_{AD}=\frac32nR(T_f-T_i), \qquad Q_{AD}=\frac52nR(T_f-T_i).

문제 3. 등적 변환에서는 받은 열이 모두 내부 에너지를 증가시킨다. 등온 압축 중에는 기체가 일을 받고 정확히 같은 양의 에너지를 열의 형태로 내놓는다. 등압 변환에서는 기체가 열을 받아 내부 에너지가 증가하고, 팽창하면서 일을 한다.

문제 4. 다음과 같이 $T_f-T_i=200\ \mathrm{K}$ 이다.

\begin{aligned} \begin{array}{c|r|r|r} \text{변환} & W\ (\mathrm{kJ}) & \Delta U\ (\mathrm{kJ}) & Q\ (\mathrm{kJ}) \\ \hline \text{등적 }A\to B & 0 & +2{,}49 & +2{,}49 \\ \text{등온 }A\to C & +1{,}73 & 0 & -1{,}73 \\ \text{등압 }A\to D & -1{,}66 & +2{,}49 & +4{,}16 \end{array} \end{aligned}