풀이가 있는 열역학 연습문제

등엔트로피 팽창과 기본 관계식의 재구성

연습문제 38 · 단원 7 — 수학적 구조: 기본 관계식

기본 관계식
등엔트로피 팽창
상태 방정식
엔트로피 표현
적분 가능 조건
몰당 양

문제

A부. 어떤 계가 몰당 기본 관계식

u = \frac{A}{v} e^{s / (3 R)}

으로 기술된다. 여기서 $u$ , $v$ , $s$ 는 몰 내부 에너지, 몰 부피, 몰 엔트로피이고, $A > 0$ 는 상수, $R$ 는 기체 상수이다. 처음 상태는 온도 $T_{0}$ 와 압력 $P_{0}$ 로 주어진다.

$T$ 와 $P$ 를 $u$ 와 $v$ 로 나타내라. 이로부터 $P$ , $v$ , $T$ 를 잇는 상태 방정식을 이끌어 내라.
압력이 8분의 1이 될 때까지 계를 등엔트로피 팽창시킨다. 나중 온도를 $T_{0}$ 만으로 나타내라.

B부. 물질의 양이 고정된 다른 계가 두 상태 방정식

U = 2 P V, P = B T^{3}

을 따른다. $B > 0$ 는 상수이다.

$1/ T$ 와 $P / T$ 를 $U$ 와 $V$ 로 나타내라.
기본 관계식 $S (U, V)$ 는 교차 도함수가 같을 때에만 존재할 수 있다. 즉 $\partial (1/ T) / \partial V = \partial (P / T) / \partial U$ 이어야 한다. 이 조건을 확인하라.
기본 관계식 $S (U, V)$ 를 상수 차이를 제외하고 구하라. 이 식이 두 상태 방정식을 다시 주는지 확인한 뒤, 크기성을 갖는지 확인하라.

힌트

A부:

T = (\partial u / \partial s)_{v}

P = - (\partial u / \partial v)_{s}

이다. 등엔트로피 과정을 따라

s

는 고정되어 있으므로 모든 것을

v

의 함수로 나타낼 수 있다. B부:

d S = (1/ T) d U + (P / T) d V

이다. 먼저

V

를 고정하고

(\partial S / \partial U)_{V} = 1/ T

를 적분하면서 함수

f (V)

를 더한 뒤,

(\partial S / \partial V)_{U} = P / T

를 이용하여

f

를 정하라.

자세한 풀이

풀이

문제 1.

v

를 고정하면

e^{s / (3 R)}

의

s

에 대한 도함수는

e^{s / (3 R)} / (3 R)

이므로

T = (\frac{\partial u}{\partial s})_{v} = \frac{A}{v} \frac{e ^{s / (3 R)}}{3 R} = \frac{u}{3 R} .

$s$ 를 고정하면 $v^{- 1/2}$ 의 도함수는 $- \frac{1}{2} v^{- 3/2}$ 이므로

P = - (\frac{\partial u}{\partial v})_{s} = \frac{1}{2} A v^{- 3/2} e^{s / (3 R)} = \frac{u}{2 v} .

첫째 관계에서 $u = 3 R T$ 이다. 이를 둘째 관계에 대입하면

P = \frac{3 R T}{2 v}, 즉 P v = \frac{3}{2} R T .

문제 2. 등엔트로피 과정을 따라 $s$ 는 일정하므로 $u = A e^{s / (3 R)} v^{- 1/2}$ 은 $v^{- 1/2}$ 에 비례한다. 따라서

T = \frac{u}{3 R} \propto v^{- 1/2}, P = \frac{u}{2 v} \propto v^{- 3/2} .

압력이 8분의 1이 되려면

(\frac{v _{f}}{v _{0}})^{- 3/2} = \frac{1}{8} ⟹ (\frac{v _{f}}{v _{0}})^{3/2} = 8 ⟹ \frac{v _{f}}{v _{0}} = 8^{2/3} = 4.

온도는 $v^{- 1/2}$ 에 비례하므로

T_{f} = T_{0} (\frac{v _{f}}{v _{0}})^{- 1/2} = \frac{T _{0}}{4} = \frac{T _{0}}{2} .

문제 3. 두 상태 방정식에서 $U = 2 P V = 2 B V T^{3}$ 이므로

T = (\frac{U}{2 B V})^{1/3}, \frac{1}{T} = (\frac{2 B V}{U})^{1/3} = (2 B)^{1/3} V^{1/3} U^{- 1/3} .

한편 $P / T = B T^{2}$ 이고, $T$ 를 대입하면

\frac{P}{T} = B (\frac{U}{2 B V})^{2/3} = \frac{B ^{1/3}}{2 ^{2/3}} U^{2/3} V^{- 2/3} .

문제 4. $U$ 를 고정하고 $1/ T$ 를 $V$ 에 대해 미분하면

\frac{\partial}{\partial V} (\frac{1}{T}) = \frac{1}{3} (2 B)^{1/3} V^{- 2/3} U^{- 1/3} .

$V$ 를 고정하고 $P / T$ 를 $U$ 에 대해 미분하면

\frac{\partial}{\partial U} (\frac{P}{T}) = \frac{2}{3} \frac{B ^{1/3}}{2 ^{2/3}} U^{- 1/3} V^{- 2/3} .

$(2 B)^{1/3} = 2 \cdot 2^{- 2/3} B^{1/3}$ 이므로 첫째 결과는 $\frac{2}{3} 2^{- 2/3} B^{1/3} V^{- 2/3} U^{- 1/3}$ 로도 쓸 수 있다. 두 교차 도함수는 같다. 따라서 형식 $(1/ T) d U + (P / T) d V$ 는 어떤 함수 $S (U, V)$ 의 미분일 수 있다. 아무렇게나 고른 두 상태 방정식은 일반적으로 이 조건을 만족하지 않는다.

문제 5.

V

를 고정하고

1/ T

를

U

에 대해 적분한다.

U^{- 1/3}

의 한 부정적분은

\frac{3}{2} U^{2/3}

이므로

S (U, V) = \frac{3}{2} (2 B)^{1/3} V^{1/3} U^{2/3} + f (V)

이고, $f$ 는 $V$ 만의 함수이다. $V$ 에 대해 미분하면

(\frac{\partial S}{\partial V})_{U} = \frac{3}{2} (2 B)^{1/3} \cdot \frac{1}{3} V^{- 2/3} U^{2/3} + f^{'} (V) = \frac{1}{2} (2 B)^{1/3} U^{2/3} V^{- 2/3} + f^{'} (V) .

그런데 $\frac{1}{2} (2 B)^{1/3} = 2^{- 2/3} B^{1/3}$ 이므로 첫째 항은 정확히 $P / T$ 이다. 따라서 $f^{'} (V) = 0$ , 곧 $f$ 는 상수여야 하며

S (U, V) = \frac{3}{2} (2 B V U^{2})^{1/3} + const .

거꾸로 이 함수의 도함수는 문제 3의 $1/ T$ 와 $P / T$ 를, 따라서 처음의 두 상태 방정식을 다시 준다. 끝으로 $U$ 와 $V$ 에 $λ$ 를 곱하면 곱 $V U^{2}$ 은 $λ^{3}$ 배, 그 세제곱근은 $λ$ 배가 된다. 더해지는 상수를 제외하면 $S$ 는 1차 동차 함수이므로 크기성을 갖는다.