풀이가 있는 열역학 연습문제

우주의 광자 기체

연습문제 39 · 단원 7 — 수학적 구조: 기본 관계식

광자 기체
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우주 배경 복사
기본 관계식
단열 팽창
동차 함수
0인 화학 퍼텐셜

문제

우주의 초기에 물질은 원자핵, 전자, 광자로 이루어진 뜨거운 플라스마였다. $T_{i} \approx 3000 K$ 무렵 최초의 원자들이 만들어지고 광자는 자유로워진다. 이 순간 광자 기체는 온도 $T_{i}$ 에서 평형에 있었고, 그 뒤 우주가 팽창하면서 가역 단열 팽창을 겪는다고 보자. 광자 기체의 기본 관계식으로

S (U, V) = \frac{4}{3} a V^{1/4} U^{3/4}

을 인정한다. $a$ 는 차원을 가진 양의 상수이다. 엔트로피는 광자의 수 $N$ 에 의존하지 않는다. 이 수는 보존되지 않는다.

1차 동차 함수의 정의를 상기하고 $S$ 가 그러한 함수임을 보여라.
$V$ 를 고정했을 때 $S$ 를 $U$ 의 함수로 개략적으로 그려라. 이 함수는 오목한가? 논하라.
$S$ 의 도함수로부터 $T$ , $P$ , $μ$ 를 구하라. 특히 $U = a^{4} V T^{4}$ 이고 $P = U / (3 V)$ 임을 보이고, $μ$ 의 값에 대해 논하라.
이 기체에 대해 열역학 제1법칙을 쓰고, 이를 가역 단열 팽창에 적용하라. 이로부터 이 과정을 따라 $U$ 와 $V$ 사이의 관계를 이끌어 내라.
이로부터 팽창하는 동안 $V T^{3}$ 이 일정하게 유지됨을 이끌어 내라.
$T$ 와 $V$ 의 함수로 나타낸 엔트로피로부터 이 결과를 직접 다시 구하라.
오늘날 광자 기체는 $T_{f} \approx 3 K$ 에서 관측된다. 이것이 우주 배경 복사이다. 방출 이후 우주의 부피는 몇 배가 되었는가?

힌트

엔트로피 표현에서

1/ T = (\partial S / \partial U)_{V}

P / T = (\partial S / \partial V)_{U}

μ / T = - (\partial S / \partial N)_{U, V}

이다. 문제 4에서 가역 단열 과정은

d S = 0

을 만족하므로

d U = - P d V

이다. 변수를 분리하라.

자세한 풀이

풀이

문제 1. 여러 변수의 함수

f

가 모든

λ > 0

에 대해

f (λ x, λ y) = λ f (x, y)

를 만족하면 1차 동차 함수이다. 여기서는

S (λ U, λV) = \frac{4}{3} a (λV)^{1/4} (λ U)^{3/4} = \frac{4}{3} a λ^{1/4 + 3/4} V^{1/4} U^{3/4} = λ S (U, V) .

따라서 광자 기체의 엔트로피는 크기 변수이다.

문제 2.

V

를 고정하면

S

는

U^{3/4}

에 비례한다. 그 1계 도함수

(\frac{\partial S}{\partial U})_{V} = a V^{1/4} U^{- 1/4} > 0

은 양수이다. $S$ 는 $U$ 와 함께 증가하고, 온도는 양수이다. 2계 도함수

(\frac{\partial ^{2} S}{\partial U ^{2}})_{V} = - \frac{a}{4} V^{1/4} U^{- 5/4} < 0

은 음수이다. $S$ 는 $U$ 에 대해 오목하다. 곡선은 원점에서 수직 접선으로 출발한 뒤 휘어지며, 언제나 현들보다 위에 있다. 이 오목성은 광자 기체의 평형이 안정함을 나타낸다.

문제 3. 문제 2에서

\frac{1}{T} = a (\frac{V}{U})^{1/4} ⟹ (\frac{U}{V})^{1/4} = a T ⟹ U = a^{4} V T^{4} .

$U$ 를 고정하고 $V$ 에 대해 미분하면

\frac{P}{T} = (\frac{\partial S}{\partial V})_{U} = \frac{4}{3} a \cdot \frac{1}{4} V^{- 3/4} U^{3/4} = \frac{a}{3} (\frac{U}{V})^{3/4} .

그런데 $(U / V)^{3/4} = ((U / V)^{1/4})^{3} = a^{3} T^{3}$ 이므로

P = T \cdot \frac{a}{3} \cdot a^{3} T^{3} = \frac{a ^{4} T ^{4}}{3} = \frac{U}{3 V} .

끝으로 $S$ 는 $N$ 에 의존하지 않으므로 $μ = - T (\partial S / \partial N)_{U, V} = 0$ 이다. 광자의 화학 퍼텐셜은 0이다. 광자의 수는 보존되지 않으므로 평형에서 자유롭게 조정되며, 광자를 하나 더하는 데 아무 비용도 들지 않는다.

문제 4.

μ d N

항이 0이므로 미분 꼴의 기본 관계식은

d U = T d S - P d V

이다. 가역 단열 팽창에서는

d S = 0

이므로,

P = U / (3 V)

와 함께

d U = - P d V = - \frac{U}{3 V} d V ⟹ \frac{d U}{U} = - \frac{1}{3} \frac{d V}{V} .

처음 상태와 팽창 중의 임의의 상태 사이에서 적분하면 $ln (U / U_{i}) = - \frac{1}{3} ln (V / V_{i})$ , 즉

U V^{1/3} = const .

문제 5. $U$ 를 $a^{4} V T^{4}$ 로 바꾸면

a^{4} V T^{4} \cdot V^{1/3} = a^{4} V^{4/3} T^{4} = const .

$a$ 는 상수이므로 $V^{4/3} T^{4} = (V^{1/3} T)^{4}$ 이 일정하고, 따라서 $V^{1/3} T$ 도 일정하다. 세제곱하면 $V T^{3} = const$ 이다.

문제 6.

U

를

a^{4} V T^{4}

로 바꾸어

S

를

T

와

V

의 함수로 나타내면

S = \frac{4}{3} a V^{1/4} (a^{4} V T^{4})^{3/4} = \frac{4}{3} a V^{1/4} a^{3} V^{3/4} T^{3} = \frac{4}{3} a^{4} V T^{3} .

가역 단열 팽창은 등엔트로피 과정이다. $S$ 가 일정하므로 $V T^{3}$ 도 일정하다. 문제 5의 결과를 직접 다시 얻는다.

문제 7.

V T^{3}

이 보존되므로

\frac{V _{f}}{V _{i}} = (\frac{T _{i}}{T _{f}})^{3} = (\frac{3000}{3})^{3} = (1 0^{3})^{3} = 1 0^{9} .

방출 이후 우주의 부피는 10억 배가 되었으며, 이는 거리로는 $1 0^{3}$ 배에 해당한다. 약 $3000 K$ 에서 방출되어 팽창으로 식은 이 복사가 오늘날 $2, 7 K$ 로 측정되는 우주 배경 복사이다.