풀이가 있는 열역학 연습문제

계의 크기 바꾸기

연습문제 7 · 단원 3 — 기본 개념

크기성
세기성
동차성
표면
차원 분석

문제

일반적인 균질한 계가 질량 $m$ , 부피 $V$ , 입자 수 $N$ , 내부 에너지 $U$ , 온도 $T$ , 압력 $P$ 를 가진다. 여기서는 장거리 상호작용과 경계 효과를 무시하고 $U$ 가 크기량이라고 가정한다. 세기 상태를 고정한 채 계의 크기를 다음과 같이 바꾼다: $(m, V, N, U) \mapsto (λm, λV, λ N, λ U)$ . 여기서 $λ > 0$ 이고, $T$ 와 $P$ 는 변하지 않는다.

$m / V$ , $V / N$ , $U / N$ , $P V$ , $U^{2} / V$ , $V^{1/3}$ 의 동차 차수를 구하라. 어느 양이 크기량이고, 어느 양이 세기량이며, 어느 양이 둘 다 아닌가?
에너지에 대한 두 표현 $U_{1} = a N k_{B} T$ 와 $U_{2} = a N^{2} k_{B} T$ 가 제안되었다. 여기서 $a > 0$ 은 차원이 없고 계의 크기와 무관하다. 두 식의 차원을 확인한 뒤, 어느 것이 크기성 가정과 양립하는지 판단하라. 이 두 확인이 왜 서로 다른지 다시 짚어 보라.
반지름이 $R$ 인 구에 대해 표면적 $A$ 를 부피 $V$ 의 함수로 나타내라. 밀도를 고정한 채 구 하나를 키울 때 $A$ 와 $A / V$ 의 동차 차수를 구하라.
부피가 $8 V$ 인 구 하나의 표면적을, 각각 부피가 $V$ 인 서로 떨어진 구 여덟 개의 총 표면적과 비교하라. 계면의 넓이에 대해 ‘물체를 키우는 것’과 ‘복제본을 나란히 놓는 것’이 같은 결과를 주지 않는 이유를 설명하라.

힌트

각 양을 스케일 변환 후의 값으로 바꿔 넣어라.

k

차 동차인 양이라면 얻어지는 인자는

λ^{k}

꼴이어야 한다. 구에 대해서는

V = 4 π R^{3} /3

과

A = 4 π R^{2}

에서 출발하라.

자세한 풀이

풀이

문제 1. 스케일 인자는 곱에서는 곱해지고 몫에서는 나누어진다. 구체적으로 다음을 얻는다.

\frac{λm}{λV} = \frac{m}{V}, \frac{λV}{λ N} = \frac{V}{N}, \frac{λ U}{λ N} = \frac{U}{N} .

이 세 비는 $0$ 차이므로 세기량이다. 다음으로,

P (λV) = λ P V, \frac{( λ U ) ^{2}}{λV} = λ \frac{U ^{2}}{V}, (λV)^{1/3} = λ^{1/3} V^{1/3} .

따라서 $P V$ 와 $U^{2} / V$ 는 $1$ 차이므로 주어진 스케일링 법칙의 의미에서 크기량이다. $V^{1/3}$ 은 $1/3$ 차이므로 크기량도 세기량도 아니다. 동차 차수는 단위를 알려 주지 않는다. $P V$ 는 줄 단위로 나타내지만, $U^{2} / V$ 는 $J^{2} m^{- 3}$ 단위로 나타낸다.

문제 2.

N

은 차원이 없는 수이고,

k_{B}

의 단위는

J K^{- 1}

이다. 따라서 두 표현은 모두 에너지의 차원을 가진다. 그러나 다음이 성립한다.

U_{1} (λ N, T) = λ U_{1} (N, T), U_{2} (λ N, T) = λ^{2} U_{2} (N, T) .

가정한 크기성과 양립하는 것은 $U_{1}$ 뿐이다. 따라서 어떤 공식은 단위가 맞으면서도 계의 크기에 대한 의존성이 틀릴 수 있다. 그렇다고 크기량이 아닌 에너지가 모두 배제되는 것은 아니다. $U_{2}$ 를 배제하는 것은 이 문제에서 세운 가정이다.

문제 3. 반지름을 구한 뒤 넓이 식에 대입한다.

R = (\frac{3 V}{4 π})^{1/3}, A = 4 π (\frac{3 V}{4 π})^{2/3} = (36 π)^{1/3} V^{2/3} .

따라서 $A (λV) = λ^{2/3} A (V)$ 이다. 즉 표면적은 $2/3$ 차이다. $λV$ 로 나누면 $A (λV) / (λV) = λ^{- 1/3} A (V) / V$ 를 얻는다. 표면적 대 부피의 비는 $- 1/3$ 차이며, 구가 커질수록 감소한다.

문제 4. 구 하나의 경우

A (8 V) = 8^{2/3} A (V) = 4 A (V)

이다. 반면 떨어진 구 여덟 개의 총 표면적은

8 A (V)

이다. 따라서 이들의 총 표면적은 두 배 크다. 한 덩어리로 된 물체를 키우면 모양은 유지되고 계면의 상대적 비중은 줄어든다. 나란히 놓으면 복제본들의 계면이 모두 보존된다. 표면 기여를 다룰 때에는 어떤 기하학적 조작을 하는지 밝혀야 한다. 부피에 대한 크기량 기술에서는 바로 이 기여를 무시한다.