풀이가 있는 열역학 연습문제

독립 변수 세기

연습문제 8 · 단원 3 — 기본 개념

상태 방정식
자유도
구속 조건
상태 좌표

문제

이상기체의 평형 상태를 $P V = n R T$ 로 연결된 양수인 네 변수 $(P, V, T, n)$ 으로 기술한다. 사용하는 변수의 수를 $q$ , 독립 관계의 수를 $r$ 이라 할 때, 도달 가능한 상태 집합의 차원 $d = q - r$ 을 구하려 한다.

$n$ 이 변할 수 있을 때 $q$ , $r$ , $d$ 를 구하라. 독립 좌표 세 개를 제시하고 네 번째 변수를 그것들로 나타내라.
물질량을 $n = n_{0}$ 으로 고정한 경우, 이어서 $T = T_{0}$ 도 부과한 경우, 마지막으로 $V = V_{0}$ 까지 부과한 경우에 대해 다시 세어라. 각 단계마다 도달 가능한 상태를 나타낼 좌표의 선택을 하나 제시하라.
어떤 학생이 $P V = n R T$ 에 관계식 $P = n R T / V$ 를 추가하여 상태 방정식이 두 개라고 세었다. 이 학생의 잘못을 설명하라.
물질량이 $n_{1}, n_{2}$ 로 고정된 두 이상기체가 총부피가 $V_{tot}$ 인 용기의 두 칸을 차지하고 있다. 두 기체는 마찰 없이 움직이고 외력을 받지 않는 투열성 피스톤으로 분리되어 있다. 공통 온도는 고정하지 않는다. 평형에서 $(P_{1}, V_{1}, T_{1}, P_{2}, V_{2}, T_{2})$ 사이의 독립 관계를 세어라. 남은 한 좌표를 이용해 두 부피와 공통 압력을 나타내라.

힌트

문제 2의 세 번의 세기에서는 처음 네 변수를 그대로 두고, 단계마다 구속 조건을 하나씩 추가하라. 피스톤에 대해서는 두 상태 방정식, 총부피, 열평형, 역학적 평형을 이용하라.

자세한 풀이

풀이

문제 1. 변수

q = 4

개와 독립 관계 하나를 사용하므로

r = 1

d = 3

이다.

(V, T, n)

을 고를 수 있으며, 이때 남은 변수는

P = n R T / V

이다. 조건

V > 0

이 있으므로 이 나눗셈이 가능하다. 문제 2. 기체가 닫힌계이면 관계는

P V = n R T

와

n = n_{0}

이므로

r = 2

d = 4 - 2 = 2

이다. 쌍

(V, T)

를 택하면 되고, 이때

P = n_{0} R T / V

이다. 처음부터 변수 목록에서

n

을 빼더라도

q = 3

r = 1

이므로 같은

d = 2

를 얻는다. 추가 구속 조건

T = T_{0}

은

r

을

3

으로 늘리고

d = 1

을 준다.

P = n_{0} R T_{0} / V

이므로 부피

V

만으로 상태를 매개화할 수 있다. 마지막으로

V = V_{0}

을 부과하면

r

은

4

가 되고

d = 0

이다. 이때 남는 것은

P = n_{0} R T_{0} / V_{0}

인 유일한 상태이다. 이 마지막 집합에는 자유 좌표가 하나도 필요 없다. 이 구속 조건들이 줄이는 것은 도달 가능한 집합이지, 구속 조건이 없는 기체를 기술하는 데 필요한 변수의 수가 아니다. 문제 3.

V > 0

이므로 두 번째 식은 첫 번째 식을

V

로 나누어 얻어진다. 한 식을 만족하는 모든 상태는 자동으로 다른 식도 만족한다. 따라서 두 번째 관계는 어떤 상태도 추가로 배제하지 않으며

r

을 늘리지 않는다. 세어야 하는 것은 방정식의 줄 수가 아니라 독립인 구속 조건이다. 문제 4. 여섯 변수는 다음 다섯 관계를 만족한다.

P_{1} V_{1} = n_{1} R T_{1}, P_{2} V_{2} = n_{2} R T_{2}, V_{1} + V_{2} = V_{tot}, T_{1} = T_{2}, P_{1} = P_{2} .

$T = T_{1} = T_{2}$ , $P = P_{1} = P_{2}$ 로 두자. 두 상태 방정식을 더하면 다음을 얻는다.

P (V_{1} + V_{2}) = (n_{1} + n_{2}) R T, P = \frac{( n _{1} + n _{2} ) R T}{V _{tot}} .

이를 각 상태 방정식에 대입하면 다음과 같다.

V_{1} = \frac{n _{1} R T}{P} = \frac{n _{1}}{n _{1} + n _{2}} V_{tot}, V_{2} = \frac{n _{2} R T}{P} = \frac{n _{2}}{n _{1} + n _{2}} V_{tot} .

인자 $R T$ 는 부피 식에서는 약분되지만 압력 식에서는 약분되지 않는다. 온도 $T > 0$ 은 자유롭게 정할 수 있으며 나머지 모든 변수를 결정한다. 즉 다섯 관계는 실제로 독립이며 $d = 6 - 5 = 1$ 이다. 에너지에 관한 추가 조건이 있다면 특정한 상태를 골라낼 수 있겠지만, 여기서는 그런 조건이 주어지지 않았다.