경로를 따라 미분형식 적분하기

문제 1. $f(x,y) = xy$가 적합하다. 실제로 $\partial f/\partial x = y$이고 $\partial f/\partial y = x$이다.

문제 2. $t\mapsto\bigl(x(t),y(t)\bigr)$로 매개화된 곡선에 대해

$$\int_\gamma\omega_1 = \int \left[y(t)x'(t)+x(t)y'(t)\right],\mathrm{d}t.$$

경로 $\gamma_1$은 두 선분의 합이다. 첫 선분에서는 $x(t)=t$, $y(t)=0$이고 $t\in[0,1]$이므로 $\mathrm{d}x=\mathrm{d}t$, $\mathrm{d}y=0$이다. 둘째 선분에서는 $x(t)=1$, $y(t)=t$이고 역시 $t\in[0,1]$이므로 $\mathrm{d}x=0$, $\mathrm{d}y=\mathrm{d}t$이다. 따라서

$$\begin{aligned} I_1 = \int_{\gamma_1}\omega_1 &= \int_0^1\left(0\times 1+t\times 0\right)\,\mathrm{d}t + \int_0^1\left(t\times 0+1\times 1\right)\,\mathrm{d}t \\ &= 0+\int_0^1\mathrm{d}t = 1. \end{aligned}$$

$\gamma_2$의 첫 선분은 $x(t)=0$, $y(t)=t$, 둘째 선분은 $x(t)=t$, $y(t)=1$로 매개화하며 두 경우 모두 $t\in[0,1]$이다. 그러므로

$$\begin{aligned} I_2 = \int_{\gamma_2}\omega_1 &= \int_0^1\left(t\times 0+0\times 1\right)\,\mathrm{d}t + \int_0^1\left(1\times 1+t\times 0\right)\,\mathrm{d}t \\ &= 0+\int_0^1\mathrm{d}t = 1. \end{aligned}$$

두 값은 같다. 계산 없이도 예상할 수 있다. $\omega_1=\mathrm{d}f$이고 $f(x,y)=xy$이므로 적분은 끝점에만 의존하여

$$\int_\gamma\omega_1=f(M)-f(O)=f(1,1)-f(0,0)=1.$$

문제 3. $\omega_2=A(x,y)\,\mathrm{d}x+B(x,y)\,\mathrm{d}y$로 쓰자. 여기서 $A(x,y)=y$, $B(x,y)=0$이다. 이 형식이 완전미분이라면 슈바르츠 판정법에 따라

$$\frac{\partial A}{\partial y}=\frac{\partial B}{\partial x}$$

여야 한다. 그러나 $\partial A/\partial y=1$인 반면 $\partial B/\partial x=0$이다. 교차 편미분이 다르므로 $\omega_2$는 완전미분이 아니다. 따라서 그 적분은 $O$와 $M$ 사이에서 택한 경로에 의존할 수 있으며, 다음 계산이 이를 확인한다.

문제 4. $\omega_2=y\,\mathrm{d}x$이므로 $y$가 0이 아닐 때의 $x$ 변화만 적분에 기여할 수 있다. 앞의 매개화를 사용하면 $\gamma_1$에서

$$\begin{aligned} J_1 =\int_{\gamma_1}\omega_2 &=\int_0^1 0\times 1\,\mathrm{d}t +\int_0^1 t\times 0\,\mathrm{d}t \\ &=0. \end{aligned}$$

$\gamma_2$의 첫 선분에서는 $x(t)=0$이므로 $\mathrm{d}x=0$이다. 둘째 선분에서는 $x(t)=t$, $y(t)=1$, $\mathrm{d}x=\mathrm{d}t$이므로

$$\begin{aligned} J_2 =\int_{\gamma_2}\omega_2 &=\int_0^1 t\times 0\,\mathrm{d}t +\int_0^1 1\times 1\,\mathrm{d}t \\ &=1. \end{aligned}$$

마지막으로 대각선분 $\gamma_3$은

$$x(t)=t,\qquad y(t)=t,\qquad t\in[0,1]$$

로 매개화된다. 따라서 $\mathrm{d}x=\mathrm{d}t$, $\mathrm{d}y=\mathrm{d}t$이고

$$J_3 =\int_{\gamma_3}\omega_2 =\int_0^1 y(t)x'(t)\,\mathrm{d}t =\int_0^1 t\,\mathrm{d}t =\frac12.$$

세 경로는 끝점이 같지만 $J_1=0$, $J_2=1$, $J_3=1/2$로 서로 다른 값을 준다. 이것이 완전미분이 아닌 미분형식의 특징적인 경로 의존성이다.