풀이가 있는 열역학 연습문제

혼합법을 이용한 금속의 비열 측정

연습문제 4 · 단원 2 — 열역학과 열량측정의 역사

열량계
혼합법
비열
열량계 용기
물당량

문제

18세기의 조지프 블랙처럼 혼합법으로 미지 금속의 비열 $c_m$ 을 측정한다. 질량 $m=0{,}150\,\text{kg}$ 인 시료를 $T_m=95\,^\circ\text{C}$ 까지 가열한 뒤, $m_e=0{,}250\,\text{kg}$ 의 물이 든 열량계에 빠르게 넣는다. 물은 $c_e=4{,}18\times10^3\,\text{J}\!\cdot\!\text{kg}^{-1}\!\cdot\!\text{K}^{-1}$ , $T_e=18\,^\circ\text{C}$ 이고 평형 온도는 $T_{eq}=22\,^\circ\text{C}$ 이다. 먼저 용기, 젓개, 온도계의 열용량은 무시한다.

금속과 물로 이루어진 고립계의 에너지 보존식을 $c_m$ 만 미지수로 하여 쓰라.
$c_m$ 의 식과 수치를 구하라. 어느 흔한 금속과 가까운가? 기준값의 단위는 $\text{J}\!\cdot\!\text{kg}^{-1}\!\cdot\!\text{K}^{-1}$ 이며 알루미늄 $9{,}0\times10^2$ , 철 $4{,}5\times10^2$ , 구리 $3{,}9\times10^2$ , 납 $1{,}3\times10^2$ 이다.
용기도 일부 열을 흡수한다. 이 효과를 물당량 $\mu=1{,}5\times10^{-2}\,\text{kg}$ 으로 나타내어 열량계를 추가 물 질량 $\mu$ 로 본다. $c_m$ 을 다시 계산하고 보정 방향을 설명하라.
시료를 빠르게 넣고 열량계를 주위 공기와 잘 단열해야 하는 이유는 무엇인가?

힌트

금속은

Q_m=mc_m(T_m-T_{eq})

를 내놓고 물과, 3번에서는 열량계가 모두 받는다.

Q_m=(m_e+\mu)c_e(T_{eq}-T_e)

자세한 풀이

풀이

mc_m(T_m-T_{eq})=m_ec_e(T_{eq}-T_e).

c_m=\frac{m_ec_e(T_{eq}-T_e)}{m(T_m-T_{eq})} =\frac{0{,}250\times4{,}18\times10^3\times(22-18)}{0{,}150\times(95-22)} \approx3{,}82\times10^2\,\text{J}\!\cdot\!\text{kg}^{-1}\!\cdot\!\text{K}^{-1}.

이 값은 구리의 값과 매우 가깝다.

c_m=\frac{(m_e+\mu)c_e(T_{eq}-T_e)}{m(T_m-T_{eq})} =\frac{(0{,}250+0{,}015)\times4{,}18\times10^3\times4}{0{,}150\times73} \approx4{,}05\times10^2\,\text{J}\!\cdot\!\text{kg}^{-1}\!\cdot\!\text{K}^{-1}.

보정하면 $c_m$ 이 커진다. 용기를 무시하면 금속이 실제로 내놓은 열과 그 비열을 과소평가하기 때문이다.

4. 이 방법은 측정 내내 계가 고립되어 있다고 가정한다. 시료를 빠르게 넣으면 물에 닿기 전 공기와의 열교환이 줄고, 좋은 단열은 평형에 이르는 동안의 손실을 줄인다. 계산에 포함되지 않은 열전달은 수지와 $c_m$ 을 왜곡한다. 이는 블랙과 뒤이어 얼음 열량계를 사용한 라부아지에와 라플라스가 지켰던 실험적 주의이다.