풀이가 있는 열역학 연습문제

두 물 질량의 혼합

연습문제 3 · 단원 2 — 열역학과 열량측정의 역사

열량계
혼합
열용량
비열
조지프 블랙
평형 온도

문제

$T_1=80\,^\circ\text{C}$ 인 물 $m_1=0{,}200\,\text{kg}$ 을 $T_2=15\,^\circ\text{C}$ 인 물 $m_2=0{,}300\,\text{kg}$ 이 든 용기에 붓는다. 용기는 이상적인 열량계로, 외부로의 열손실과 용기 자체의 열용량을 무시한다. $Q=mc\Delta T$ 이며 액체 물의 비열은 $c=4{,}18\times10^3\,\text{J}\!\cdot\!\text{kg}^{-1}\!\cdot\!\text{K}^{-1}$ 이다.

뜨거운 물이 내놓은 열을 찬물이 모두 받는 이유를 설명하고 $m_1$ , $m_2$ , $c$ , $T_1$ , $T_2$ , 평형 온도 $T_{eq}$ 을 포함한 보존식을 쓰라.
$T_{eq}$ 의 식을 구하고 수치를 계산하라.
혼합 중 뜨거운 물이 내놓은 열 $Q$ 를 계산하라.
같은 물질끼리의 혼합으로 $c$ 를 구할 수 있는가? 설명하라.

힌트

열량계는 단열되고 강체이므로 전체 내부 에너지

U_1+U_2

가 보존된다. 한쪽이 내놓은 열은 다른 쪽이 반대 부호로 받는다.

자세한 풀이

풀이

1. 열량계는 외부에 대해 단열되어 있고 벽이 강체이므로, 뜨거운 물과 찬물로 이루어진 계의 전체 내부 에너지는 보존된다. 한쪽이 잃은 열을 다른 쪽이 정확히 얻으므로

Q_{1,\textrm{흡수}}=-Q_{2,\textrm{흡수}}

, 즉

Q_{1,\textrm{흡수}}+Q_{2,\textrm{흡수}}=0

이다. 각 물의 질량에 대해 초기 상태에서 평형까지

Q=mc\Delta T

의 부호 규약을 적용하면

m_1c(T_{eq}-T_1)+m_2c(T_{eq}-T_2)=0.

2. 공통 인자 $c$ 가 소거되어

T_{eq}=\frac{m_1T_1+m_2T_2}{m_1+m_2} =\frac{0{,}200\times80+0{,}300\times15}{0{,}200+0{,}300}=41\,^\circ\text{C}.

Q_{1,\textrm{방출}}=-Q_{1,\textrm{흡수}}=m_1c(T_1-T_{eq})=0{,}200\times4{,}18\times10^3\times(80-41) \approx3{,}26\times10^4\,\text{J}.

찬물도 정확히 같은 열을 받는다.

Q_{2,\textrm{흡수}}=m_2c(T_{eq}-T_2)=0{,}300\times4{,}18\times10^3\times26 \approx3{,}26\times10^4\,\text{J}.

4. 구할 수 없다. 같은 물질에서는 $c$ 가 에너지 수지의 양쪽 항에 곱해져 소거된다. 평형 온도는 $c$ 와 무관하고 초기 온도의 질량 가중 평균일 뿐이다. 혼합법으로 비열을 측정하려면 다음 문제처럼 열용량을 아는 물질이 필요하다.