문제

이 연습문제는 널리 알려진 고전 문제일 뿐만 아니라, 가역 변환과 비가역 변환의 차이 중 하나를 보이는 데에도 핵심적이다(제6과도 참조).

열용량이 일정한 이상기체 $n$ 몰이 단열된 수직 실린더 안에 들어 있다. 열용량의 비는 $\gamma=c_P/c_V>1$ 이다. 실린더의 단면적은 $\mathcal S$ 이며, 질량을 무시할 수 있고 마찰 없이 움직이는 단열 피스톤으로 닫혀 있다. 외부의 대기압은 $P_0$ 이고, 피스톤의 윗면에 작용한다. 따라서 초기 평형에서 기체의 압력도 $P_0$ 이며, 그 상태는

A=(P_0,V_0,T_0).

총질량이 $M$ 인 부가 하중이 있다. 이 하중을 피스톤 위에 모두 올려놓으면 외부 압력은

P_1=P_0+\frac{Mg}{\mathcal S}=xP_0, \qquad x>1.

두 실험을 비교한다. 하나는 질량 $M$ 을 매우 많은 작은 질량으로 나누어 각각을 하나씩 추가하되 매번 새로운 평형에 이를 때까지 기다리는 것이고, 다른 하나는 질량 $M$ 전체를 한꺼번에 올려놓는 것이다. 그다음에는 부가 하중을 같은 방식으로 제거한다. 즉, 모래알을 하나씩 제거하거나 한꺼번에 모두 제거한다.

두 실험은 가운데에 나타낸 동일한 초기 상태 A에서 시작한다. 이때 피스톤에는 대기압 P_0만 작용한다. 왼쪽에서는 총질량이 M인 부가 하중을 모래알 하나씩 올려놓으므로 P_ ext가 점진적으로 증가한다. 같은 방식으로 하중을 제거하면 경로를 반대 방향으로 따라간다. 오른쪽에서는 동일한 질량 M을 한꺼번에 올려놓으므로 P_ ext가 P_0에서 P_1으로 급격히 변한다. 두 압축 실험에서 P_1=P_0+Mg/ S=xP_0이다. — 그림 1. 두 실험은 가운데에 나타낸 동일한 초기 상태 $A$ 에서 시작한다. 이때 피스톤에는 대기압 $P_0$ 만 작용한다. 왼쪽에서는 총질량이 $M$ 인 부가 하중을 모래알 하나씩 올려놓으므로 $P_{\mathrm{ext}}$ 가 점진적으로 증가한다. 같은 방식으로 하중을 제거하면 경로를 반대 방향으로 따라간다. 오른쪽에서는 동일한 질량 $M$ 을 한꺼번에 올려놓으므로 $P_{\mathrm{ext}}$ 가 $P_0$ 에서 $P_1$ 으로 급격히 변한다. 두 압축 실험에서 $P_1=P_0+Mg/\mathcal S=xP_0$ 이다.

부가 하중을 매우 점진적으로 추가하여 외부 압력이 $P_0$ 에서 $P_1$ 으로 서서히 변한다. 매 순간 기체의 압력 $P$ 가 외부 압력 $P_{\mathrm{ext}}$ 와 같음을 설명하라. 이때 기체의 연속된 상태들을 연결하는 데 어떤 법칙을 사용할 수 있는가? $P_B/P_0$ , $T_B/T_0$ , $V_B/V_0$ 를 $x$ 와 $\gamma$ 의 함수로 구하라.
이제 상태 $B$ 에서 시작하여 외부 압력이 다시 $P_0$ 가 될 때까지 부가 하중을 모래알 하나씩 매우 점진적으로 제거한다. 앞 문제와 같은 법칙을 사용하여 기체가 초기 상태 $A$ 로 정확히 돌아옴을 보여라.
다시 $A$ 에서 시작하여 이번에는 질량 $M$ 을 한꺼번에 올려놓는다. 외부 압력은 급격히 변하여 일정한 값 $P_1$ 이 된다. 최종 상태 $B'$ 과 $W_{AB'}$ , $Q_{AB'}$ , $\Delta U_{AB'}$ 를 모두 구하라.
먼저 $\gamma=5/3$ , $x=2$ 인 예에서 $T_{B'}$ 과 $T_B$ 를 수치로 비교하라. 이어서 모든 $\gamma>1$ 과 모든 $x>1$ 에 대해 해석적으로 비교한 다음, $V_{B'}$ 과 $V_B$ 를 비교하라. 두 압축 중 어느 것이 기체를 더 많이 가열하며, 어느 것이 더 많이 압축하는가?
$B'$ 에서 부가 하중을 한꺼번에 모두 제거하면 외부 압력은 다시 대기압 $P_0$ 가 된다. 최종 상태 $B"$ 을 구하라. $T_{B"}$ 과 $V_{B"}$ 이 각각의 초기값보다 큰지 작은지 보여라.
왕복 과정 $A\to B'\to B"$ 의 에너지 수지를 구하라. 제6과에서 이 비교에 무엇을 추가로 다루게 될지 설명하라.

힌트

급격한 변환에는

W=-P_{\mathrm{ext}}(V_f-V_i)

를 사용하고, 초기와 최종 평형 상태에서만 상태 방정식을 사용하라.

B

와

B'

을 비교하려면

T_{B'}/T_B

의 로그를 살펴볼 수 있다.

자세한 풀이

풀이

c_V=\frac{R}{\gamma-1}

임을 상기하자.

문제 1. 부가 하중을 충분히 작은 질량들로 나누고, 다음 질량을 추가하기 전에 매번 새로운 평형에 이르게 한다. 따라서 기체는 연속된 평형 상태들을 거치며, 이 변환은 준정적이다. 피스톤의 질량을 무시할 수 있고 마찰이 없으므로 매 순간의 역학적 평형은 $P\mathcal S=P_{\mathrm{ext}}\mathcal S$ , 즉 $P=P_{\mathrm{ext}}$ 를 요구한다. 벽이 단열되어 있으므로 $\delta Q=0$ 이다. 따라서 이 조건에서는 라플라스 법칙을 사용할 수 있다. $A$ 와 $B$ 사이에서 유용한 두 형태는

P_0V_0^\gamma=P_BV_B^\gamma, \qquad T_0^\gamma P_0^{1-\gamma}=T_B^\gamma P_B^{1-\gamma}.

$P_B=P_1=xP_0$ 이므로 첫 번째 관계에서 바로 $V_B/V_0=x^{-1/\gamma}$ 를 얻고, 두 번째 관계에서는 $T_B/T_0=x^{(\gamma-1)/\gamma}$ 를 얻는다. 최종적으로 $P_B/P_0=x$ , $T_B/T_0=x^{(\gamma-1)/\gamma}$ , $V_B/V_0=x^{-1/\gamma}$ 이다.

문제 2. 부가 하중을 점진적으로 제거하는 동안 기체는 외부와 역학적 평형을 유지하며 같은 라플라스 단열선을 반대 방향으로 따라간다. 마지막에는 $P_f=P_0$ 이다. 따라서 라플라스 법칙에서

T_f =T_B\left(\frac{P_0}{P_1}\right)^{(\gamma-1)/\gamma} =T_0x^{(\gamma-1)/\gamma}x^{-(\gamma-1)/\gamma} =T_0,

그리고

V_f =V_B\left(\frac{P_1}{P_0}\right)^{1/\gamma} =V_0x^{-1/\gamma}x^{1/\gamma} =V_0.

따라서 기체는 상태 $A=(P_0,V_0,T_0)$ 로 정확히 돌아온다. 이 변환은 동일한 연속된 평형 상태들을 거치며 양방향으로 진행될 수 있다. 이러한 변환을 가역 변환이라고 한다.

문제 3. 라플라스 법칙을 사용해서는 안 된다. 이 급격한 변환 동안 기체는 연속된 평형 상태들을 거치지 않기 때문이다. 변환 중에는 일에 오직 일정한 외부 압력 $P_1$ 만 관여한다. $W_{AB'}=-P_1(V_{B'}-V_0)$ 이다. 최종 평형에서 $P_{B'}=P_1$ 이다. $P_0V_0=nRT_0$ , $P_1V_{B'}=nRT_{B'}$ , $Q_{AB'}=0$ , $\Delta U_{AB'}=nc_V(T_{B'}-T_0)$ 를 사용하면 열역학 제1법칙에서

T_{B'}=T_0\frac{1+(\gamma-1)x}{\gamma}.

다음과 같이 놓자.

\theta=\frac{1+(\gamma-1)x}{\gamma}.

그러면

P_{B'}=xP_0, \qquad T_{B'}=\theta T_0, \qquad V_{B'}=\frac{\theta}{x}V_0.

문제 4. 먼저 $\gamma=5/3$ , $x=2$ 인 예를 살펴보자. 점진적 압축에서는 $T_B/T_0=2^{2/5}\simeq1{,}32$ 이지만, 급격한 압축에서는

T_{B'}/T_0=\theta=[1+(2/3)\times2]/(5/3)=7/5=1{,}40.

따라서 이 예에서는 급격한 압축이 기체를 더 많이 가열한다. 이 결과가 일반적임을 보이자. 다음과 같이 놓는다.

f(x)=\ln\!\left(\frac{T_{B'}}{T_B}\right) =\ln\!\left(\frac{1+(\gamma-1)x}{\gamma}\right) -\frac{\gamma-1}{\gamma}\ln x.

$f(1)=0$ 이고,

f'(x) =\frac{\gamma-1}{1+(\gamma-1)x} -\frac{\gamma-1}{\gamma x} =\frac{(\gamma-1)(x-1)} {\gamma x\,[1+(\gamma-1)x]}

이다. $\gamma>1$ , $x>1$ 일 때 분모의 모든 인자는 양수이고 $f'(x)>0$ 이다. 따라서 $f(x)>f(1)=0$ 이므로 $T_{B'}/T_B>1$ , 즉 $T_{B'}>T_B$ 이다. 두 상태의 압력은 동일하게 $P_1$ 이므로 이상기체 상태 방정식에서 $V_{B'}>V_B$ 도 성립한다. 급격한 압축은 기체를 더 많이 가열하지만, 점진적 압축보다 덜 압축한다.

문제 5. 부가 하중을 급격히 제거하면 외부 압력은 $P_1$ 에서 $P_0=P_1/x$ 로 변한다. 따라서 문제 3의 계산에서 압력비 $x$ 를 그 역수 $1/x$ 로 바꾸어 다시 적용한다. 그러면 문제 3의 결과는

\frac{T_{B"}}{T_{B'}} =\frac{1+(\gamma-1)P_0/P_1}{\gamma} =\frac{1+(\gamma-1)/x}{\gamma}.

다음과 같이 놓으면

\phi=\frac{1+(\gamma-1)/x}{\gamma},

다음을 얻는다.

P_{B"}=P_0, \qquad T_{B"}=\theta\phi\,T_0, \qquad V_{B"}=\theta\phi\,V_0.

한편

\theta\phi-1 =\frac{\gamma-1}{\gamma^2} \left(x+\frac1x-2\right).

고려하는 범위에서는 $x>1$ 이므로 $x>0$ 이고 $x+1/x-2=(x-1)^2/x>0$ 이다. 또한 $\gamma>1$ 이므로 실제로 $\theta\phi-1>0$ 이다. 따라서

\boxed{T_{B"}>T_0}, \qquad \boxed{V_{B"}>V_0}.

외부 압력을 왕복시킨 뒤에도 기체는 상태 $A$ 로 돌아오지 않는다. 이 차이는 비가역성의 첫 번째 징표이다. 외부 구속 조건을 초기값으로 되돌리는 것만으로는 계가 초기 상태로 돌아가기에 충분하지 않다.

문제 6. 급격한 팽창은 단열 변환이므로 전체 왕복 과정에서

Q_{\mathrm{tot}}=0, \qquad W_{\mathrm{tot}}=\Delta U_{\mathrm{tot}} =nc_VT_0(\theta\phi-1)>0.

외부 조작으로 압력은 초기값으로 돌아오지만, 기체는 알짜 일을 받아 더 뜨겁고 더 팽창한 상태로 남는다. 제6과에서는 같은 상태들을 다시 다루어 가역 압축에서는 엔트로피가 생성되지 않지만 두 급격한 변환은 각각 엔트로피를 생성함을 보일 것이다.