熱力学の解答付き演習

同じ内部エネルギー変化、三つの移動形態

演習 7 · レッスン 4 — 熱力学第一法則

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問題

液体、その熱量計、浸された小さな抵抗器が、巨視的に静止した閉じた系を構成する。容器は剛体で、系の全熱容量は一定とする：

C=2{,}00\ \mathrm{kJ\,K^{-1}}.

系を、 $T_A=20{,}0\,^\circ\mathrm{C}$ の平衡状態 $A$ から $T_B=25{,}0\,^\circ\mathrm{C}$ の平衡状態 $B$ に移したい。次を仮定する：

U(B)-U(A)=C(T_B-T_A).

巨視的な運動エネルギーと位置エネルギーの変化はゼロである。外部への損失はすべて無視する。

同じ初期状態 $A$ から、次の三つの手順をそれぞれ独立に行う：

手順1. 系を高温熱源と熱接触させるが、系には仕事を一切与えない。
手順2. 壁を断熱する。質量 $m$ のおもりを高さ $h=5{,}00$ m だけ落下させ、その力で羽根車が液体をかき混ぜる。最後には羽根車と液体は静止し、おもりが失った力学的エネルギーはすべて系に伝わる。 $g=9{,}81\ \mathrm{m\,s^{-2}}$ とする。
手順3. 系は熱 $Q_3=4{,}00$ kJ を受け取り、不足分のエネルギーは電気的に抵抗器へ供給される。受け取る電力は一定で $\mathcal P=300$ W である。

三手順に共通する内部エネルギー変化 $\Delta U=U(B)-U(A)$ を求めよ。
最初の二手順のそれぞれについて、系が受け取る熱 $Q$ と仕事 $W$ を求めよ。第二手順では必要な質量 $m$ を求めよ。
第三手順について、受け取る電気的仕事と抵抗器への通電時間を求めよ。
三つの過程は同じ初期状態と最終状態をもつ。それにもかかわらず $Q$ と $W$ が異なり得る理由を説明せよ。最終状態 $B$ の系は「熱」や「仕事」を含むのか。

ヒント

銀行家の符号規約で

\Delta U=Q+W

を適用する。羽根車について、系が受け取る仕事はおもりの位置エネルギーの減少

mgh

に等しい。導線を通って境界を横切る電気エネルギーは電気的仕事として数える。

解答

問1。温度差は

T_B-T_A=5{,}0

K である。したがって

\Delta U=C(T_B-T_A) =2{,}00\times5{,}0 =10{,}0\ \mathrm{kJ}.

この値は二つの平衡状態 $A$ と $B$ だけに依存する。

問2。第一手順では仕事を受け取らないので $W_1=0$ である。第一法則より

Q_1=\Delta U=10{,}0\ \mathrm{kJ}.

エネルギーが系に入るため、熱は正である。

第二手順では壁が断熱されているので $Q_2=0$ である。内部エネルギー変化はすべて羽根車の力学的仕事による：

W_2=\Delta U=10{,}0\ \mathrm{kJ}.

$W_2=mgh$ だから

m=\frac{W_2}{gh} =\frac{10{,}0\times10^3}{9{,}81\times5{,}00} \simeq 204\ \mathrm{kg}.

この大きな桁は、わずかな温度上昇にもすでに相当量の力学的エネルギーが対応することを示す。

問3。第一法則から

W_3=\Delta U-Q_3=10{,}0-4{,}00=6{,}00\ \mathrm{kJ}.

この仕事は正である。電源が系へエネルギーを与えるからである。 $W_3=\mathcal P\,\Delta t$ より

\Delta t=\frac{W_3}{\mathcal P} =\frac{6{,}00\times10^3}{300} =20{,}0\ \mathrm{s}.

問4。三つの経路はそれぞれ

(Q_1,W_1)=(10{,}0,0)\ \mathrm{kJ}, \qquad (Q_2,W_2)=(0,10{,}0)\ \mathrm{kJ},

および

(Q_3,W_3)=(4{,}00,6{,}00)\ \mathrm{kJ}

を与える。いずれも $Q+W$ は $10{,}0$ kJ で、同じ変化 $\Delta U$ を生む。内部エネルギーは状態関数だが、熱と仕事は過程中のエネルギー移動を表す。最終状態 $B$ で系は内部エネルギーをもつが、「熱」も「仕事」も含まない。