熱力学の解答付き演習

二つのブロックの間の熱機関：回収可能な最大仕事

演習 24 · レッスン 6 — 熱力学第二法則

  • 可逆熱機関
  • 変化する温度
  • カルノー効率
  • 最大仕事

問題

変形しない二つのブロックAとBの全熱容量は、それぞれ一定の CA>0C_A>0、CB>0C_B>0 である。初期温度は TA,0>TB,0>0T_{A,0}>T_{B,0}>0 とする。各ブロック内部の温度は一様だが、熱を交換すると変わりうる。相変化はない。

二つのブロックを直接接触させず、その間で熱機関を運転する。機関はAから熱を取り、その一部をBへ渡し、外界へ仕事を供給する。「ブロックと機関」の全体は外界と熱を交換しない。機関は各周期の後に同じ状態に戻るため、エネルギーもエントロピーも蓄積しない。初期温度差を利用して回収できる最大仕事を求めたい。

そのため、無限小の可逆サイクルを連続して行う極限を考える。各周期で瞬間的な温度 TAT_A、TBT_B は無限小しか変わらない。考える系が受け取るエネルギーを正とする。機関がA、Bからそれぞれ受け取る熱量を δQA\delta Q_A、δQB\delta Q_B、機関が受け取る仕事を δW\delta W とする。熱機関として運転するとき δQA>0\delta Q_A>0、δQB<0\delta Q_B<0、δW<0\delta W<0 である。ブロックが受け取る熱量はそれぞれ −δQA-\delta Q_A、−δQB-\delta Q_B となる。

  1. 無限小の一周期でのブロックと機関のエネルギー収支を書け。カルノー効率を使い、δQB\delta Q_B を δQA,TA,TB\delta Q_A,T_A,T_B で表せ。Aが冷えBが温まることを示せ。周期を重ねると温度差と効率はどう変わるか。どの条件で仕事を取り出せなくなるか。
  2. dTA/TA\mathrm dT_A/T_A と dTB/TB\mathrm dT_B/T_B の関係を導き、初期状態から積分せよ。共通の最終温度 TrT_r を求めよ。なぜ両ブロックを一定温度 TA,0T_{A,0}、TB,0T_{B,0} の熱浴とみなせないのか。
  3. 可逆運転中に受け取る全仕事 WrevW_{\mathrm{rev}} と、その絶対値 ∣Wrev∣|W_{\mathrm{rev}}| を求めよ。後者が外界で回収できる最大仕事である。CA=CB=CC_A=C_B=C の場合に TrT_r、WrevW_{\mathrm{rev}} を簡単にし、∣Wrev∣|W_{\mathrm{rev}}| を正であることが明らかな形で書け。
  4. 数値計算：両ブロックは鉄で、各質量 m=1,0 kgm=1{,}0\ \mathrm{kg}、初期温度はAが 60 ∘C60\,{}^\circ\mathrm C、Bが 20 ∘C20\,{}^\circ\mathrm C である。鉄の比熱容量を一定の c=450 J kg−1 K−1c=450\ \mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}} とする。回収可能な最大仕事 ∣Wrev∣|W_{\mathrm{rev}}| を計算せよ。

ヒント
各無限小周期の効率は、その時点の温度で 1−TB/TA1-T_B/T_A であり、∣δW∣/δQA|\delta W|/\delta Q_A と書ける。全体の収支には「ブロックと機関」に ΔU=Q+W\Delta U=Q+W を適用し、Q=0Q=0、W<0W<0 を用いる。

詳しい解答

解答
問1。 ブロックは変形せず仕事を受け取らないので、エネルギー変化は受け取る熱量に等しい：

CA dTA=−δQA,CB dTB=−δQB.C_A\,\mathrm dT_A=-\delta Q_A,\qquad C_B\,\mathrm dT_B=-\delta Q_B.

機関は初期状態に戻る。エネルギー収支は 0=δQA+δQB+δW0=\delta Q_A+\delta Q_B+\delta W、すなわち

δW=−(δQA+δQB)<0.\delta W=-(\delta Q_A+\delta Q_B)<0.

効率は回収仕事とAから受け取る熱量の比である。δW<0\delta W<0 なので ∣δW∣=−δW|\delta W|=-\delta W、よって

η=∣δW∣δQA=1+δQBδQA=1−TBTA⟹δQB=−TBTAδQA.\eta=\frac{|\delta W|}{\delta Q_A} =1+\frac{\delta Q_B}{\delta Q_A}=1-\frac{T_B}{T_A} \quad\Longrightarrow\quad \delta Q_B=-\frac{T_B}{T_A}\delta Q_A.

Aは −δQA<0-\delta Q_A<0、Bは −δQB>0-\delta Q_B>0 を受け取る。熱容量が正なので dTA<0\mathrm dT_A<0、dTB>0\mathrm dT_B>0 である。温度差は減る：

d(TA−TB)=−δQA(1CA+TBCBTA)<0.\mathrm d(T_A-T_B) =-\delta Q_A\left(\frac1{C_A}+\frac{T_B}{C_BT_A}\right)<0.

比 TB/TAT_B/T_A は分子が増えて分母が減るため増大する。効率 1−TB/TA1-T_B/T_A は徐々に低下する。TA=TBT_A=T_B ではゼロとなり、温度差を使い尽くす。これらのブロック間のどの周期的熱機関も、もはや仕事を供給できない。

問2。 ブロックの収支は δQA=−CA dTA\delta Q_A=-C_A\,\mathrm dT_A、δQB=−CB dTB\delta Q_B=-C_B\,\mathrm dT_B を与える。前の関係に代入すると、

−CB dTB=−TBTA(−CA dTA)=TBTACA dTA.-C_B\,\mathrm dT_B =-\frac{T_B}{T_A}(-C_A\,\mathrm dT_A) =\frac{T_B}{T_A}C_A\,\mathrm dT_A.

符号を変えて TBT_B で割ると、

CB dTB=−TBTACA dTA,CAdTATA+CBdTBTB=0.C_B\,\mathrm dT_B=-\frac{T_B}{T_A}C_A\,\mathrm dT_A, \qquad C_A\frac{\mathrm dT_A}{T_A} +C_B\frac{\mathrm dT_B}{T_B}=0.

初期温度から任意の周期数の後に到達した温度まで積分する：

CA∫TA,0TAdTT+CB∫TB,0TBdTT=0.C_A\int_{T_{A,0}}^{T_A}\frac{\mathrm dT}{T} +C_B\int_{T_{B,0}}^{T_B}\frac{\mathrm dT}{T}=0.

1/T1/T の原始関数は ln⁡T\ln T であり、積分端を代入すると

CAln⁡TATA,0+CBln⁡TBTB,0=0.C_A\ln\frac{T_A}{T_{A,0}}+C_B\ln\frac{T_B}{T_{B,0}}=0.

この関係は可逆運転で全エントロピーが保存されることを表す。停止時には TA=TB=TrT_A=T_B=T_r である。ln⁡(Tr/TB,0)=ln⁡(Tr/TA,0)+ln⁡(TA,0/TB,0)\ln(T_r/T_{B,0})=\ln(T_r/T_{A,0})+\ln(T_{A,0}/T_{B,0}) と書くと、

(CA+CB)ln⁡TrTA,0=CBln⁡TB,0TA,0.(C_A+C_B)\ln\frac{T_r}{T_{A,0}} =C_B\ln\frac{T_{B,0}}{T_{A,0}}.

CA+CBC_A+C_B で割って指数関数を取れば、

Tr=TA,0(TB,0TA,0)CB/(CA+CB).\boxed{T_r=T_{A,0} \left(\frac{T_{B,0}}{T_{A,0}}\right)^{C_B/(C_A+C_B)}.}

ブロックの熱容量は有限なので、熱交換のたびに dT=δQblock/C\mathrm dT=\delta Q_{\mathrm{block}}/C に従い温度が変わる。δQblock\delta Q_{\mathrm{block}} は考えるブロックが受け取る熱量である。したがって初期効率は全実験を通して有効ではない。温度一定の近似は各無限小周期にだけ適用でき、そのつど新しい温度を使う。

問3。 「ブロックと機関」の全体は断熱だが仕事を供給するため、孤立してはいない。機関はエネルギーを蓄えないので第一法則から

CA(Tr−TA,0)+CB(Tr−TB,0)=Wrev.C_A(T_r-T_{A,0})+C_B(T_r-T_{B,0})=W_{\mathrm{rev}}.

全体が受け取る仕事は機関が受け取る仕事である。項をまとめると、

Wrev=(CA+CB)Tr−CATA,0−CBTB,0<0.W_{\mathrm{rev}}=(C_A+C_B)T_r-C_AT_{A,0}-C_BT_{B,0}<0.

外界で回収される仕事はその絶対値である：

∣Wrev∣=−Wrev=CATA,0+CBTB,0−(CA+CB)Tr.\boxed{|W_{\mathrm{rev}}|=-W_{\mathrm{rev}} =C_AT_{A,0}+C_BT_{B,0}-(C_A+C_B)T_r.}

各積 CTCT の単位はエネルギーのジュールである。可逆性が最大値を与える理由を考えるため、エントロピーを生成し、共通温度 T∗T_* に至る機関を考える。ブロックのエントロピー収支から

CAln⁡T∗TA,0+CBln⁡T∗TB,0≥0.C_A\ln\frac{T_*}{T_{A,0}}+C_B\ln\frac{T_*}{T_{B,0}}\geq0.

ゼロに等しい可逆の収支を引くと (CA+CB)ln⁡(T∗/Tr)≥0(C_A+C_B)\ln(T_*/T_r)\geq0、したがって T∗≥TrT_*\geq T_r を得る。この熱機関運転で受け取る仕事は W∗=(CA+CB)T∗−CATA,0−CBTB,0W_*=(C_A+C_B)T_*-C_AT_{A,0}-C_BT_{B,0} なので、

W∗−Wrev=(CA+CB)(T∗−Tr)≥0.W_*-W_{\mathrm{rev}}=(C_A+C_B)(T_*-T_r)\geq0.

よって Wrev≤W∗≤0W_{\mathrm{rev}}\leq W_*\leq0 である。受け取る仕事は可逆の場合に最も負になり、絶対値が最大となる：∣W∗∣≤∣Wrev∣|W_*|\leq|W_{\mathrm{rev}}|。

CA=CB=CC_A=C_B=C では指数は 1/21/2 なので、

Tr=TA,0TB,0TA,0=TA,0TB,0,Wrev=−C(TA,0−TB,0)2<0,∣Wrev∣=C(TA,0+TB,0−2TA,0TB,0)=C(TA,0−TB,0)2>0.T_r=T_{A,0}\sqrt{\frac{T_{B,0}}{T_{A,0}}} =\sqrt{T_{A,0}T_{B,0}}, W_{\mathrm{rev}}=-C\left(\sqrt{T_{A,0}}-\sqrt{T_{B,0}}\right)^2<0, |W_{\mathrm{rev}}|=C\left(T_{A,0}+T_{B,0} -2\sqrt{T_{A,0}T_{B,0}}\right) =C\left(\sqrt{T_{A,0}}-\sqrt{T_{B,0}}\right)^2>0.

恒等式 a2+b2−2ab=(a−b)2a^2+b^2-2ab=(a-b)^2 を用いた。初期温度が等しい場合、仕事はゼロになる。

問4。 与えられたのは単位質量あたりの熱容量である。各ブロックの全熱容量は

C=mc=1,0×450=450 J K−1.C=mc=1{,}0\times450=450\ \mathrm{J\,K^{-1}}.

平方根の中の温度はケルビンで表さなければならない：

TA,0=60+273,15=333,15 K,TB,0=20+273,15=293,15 K.T_{A,0}=60+273{,}15=333{,}15\ \mathrm K,\qquad T_{B,0}=20+273{,}15=293{,}15\ \mathrm K.

問3の結果に代入すると、

∣Wrev∣=450(333,15−293,15)2≃575 J=0,575 kJ.|W_{\mathrm{rev}}| =450\left(\sqrt{333{,}15}-\sqrt{293{,}15}\right)^2 \simeq575\ \mathrm J=0{,}575\ \mathrm{kJ}.

回収可能な最大仕事は約 0,58 kJ0{,}58\ \mathrm{kJ} である。受け取りを正とする約束では、機関が受け取る仕事は Wrev≃−575 JW_{\mathrm{rev}}\simeq-575\ \mathrm J であり、負号はこのエネルギーを外界に渡すことを示す。