熱力学の解答付き演習

二つの水塊の混合

演習 3 · レッスン 2 — 熱力学と熱量測定の歴史

  • 熱量測定
  • 混合
  • 熱容量
  • 比熱容量
  • ジョゼフ・ブラック
  • 平衡温度

問題

T1=80 ∘CT_1=80\,^\circ\text{C} の水 m1=0,200 kgm_1=0{,}200\,\text{kg} を，T2=15 ∘CT_2=15\,^\circ\text{C} の水 m2=0,300 kgm_2=0{,}300\,\text{kg} が入った容器に注ぐ。容器は理想的な熱量計で，外部への熱損失と容器自身の熱容量を無視する。Q=mcΔTQ=mc\Delta T であり，液体水の比熱容量は c=4,18×103 J ⁣⋅ ⁣kg−1 ⁣⋅ ⁣K−1c=4{,}18\times10^3\,\text{J}\!\cdot\!\text{kg}^{-1}\!\cdot\!\text{K}^{-1} である。

  1. 温水が放出した熱を冷水が全て受け取ることを説明し，m1m_1，m2m_2，cc，T1T_1，T2T_2，平衡温度 TeqT_{eq} を含む保存式を書け。
  2. TeqT_{eq} の式を導き，数値を求めよ。
  3. 混合中に温水が放出した熱量 QQ を求めよ。
  4. 同じ物質同士の混合から cc を求められるか。理由を述べよ。

ヒント
熱量計は断熱かつ剛体なので，全内部エネルギー U1+U2U_1+U_2 は保存される。一方が放出した熱を他方が逆符号で受け取る。

詳しい解答

解答
1. 熱量計は外界に対して断熱され，壁も剛体なので，温水と冷水からなる系の全内部エネルギーは保存される。一方が失う熱量を他方がちょうど受け取るため，Q1,受取=−Q2,受取Q_{1,\textrm{受取}}=-Q_{2,\textrm{受取}}，すなわち Q1,受取+Q2,受取=0Q_{1,\textrm{受取}}+Q_{2,\textrm{受取}}=0 である。各水塊について初期状態から平衡状態まで Q=mcΔTQ=mc\Delta T の符号規約を用いると，

m1c(Teq−T1)+m2c(Teq−T2)=0.m_1c(T_{eq}-T_1)+m_2c(T_{eq}-T_2)=0.

2. 共通因子 cc が消去され，

Teq=m1T1+m2T2m1+m2=0,200×80+0,300×150,200+0,300=41 ∘C.T_{eq}=\frac{m_1T_1+m_2T_2}{m_1+m_2} =\frac{0{,}200\times80+0{,}300\times15}{0{,}200+0{,}300}=41\,^\circ\text{C}.

3.

Q1,放出=−Q1,受取=m1c(T1−Teq)=0,200×4,18×103×(80−41)≈3,26×104 J.Q_{1,\textrm{放出}}=-Q_{1,\textrm{受取}}=m_1c(T_1-T_{eq})=0{,}200\times4{,}18\times10^3\times(80-41) \approx3{,}26\times10^4\,\text{J}.

冷水が受け取る熱量も同じである：

Q2,受取=m2c(Teq−T2)=0,300×4,18×103×26≈3,26×104 J.Q_{2,\textrm{受取}}=m_2c(T_{eq}-T_2)=0{,}300\times4{,}18\times10^3\times26 \approx3{,}26\times10^4\,\text{J}.

4. 求められない。同じ物質では cc が収支式の両項に掛かって消去される。平衡温度は cc に依存せず，質量で重み付けした初期温度の平均である。混合法で比熱容量を測るには，次の演習のように既知の熱容量をもつ物質が必要である。