熱力学の解答付き演習

等温大気と化学ポテンシャル

演習 41 · レッスン 8 — 変化の方向、平衡、安定性

問題

高度 $z$ にある空気1モルについて、一般化された化学ポテンシャル

μ (T, P, z) = μ^{\circ} (T) + R T ln (\frac{P}{P ^{\circ}}) + M g z

が与えられている。ここで $M$ は空気のモル質量である。大気は等温であると仮定する。

平衡状態で $μ$ が $z$ によらないはずである理由を説明せよ。
これより、 $P (z)$ が満たす微分方程式を導き、次に気圧の公式を導け。
$h = 8, 85 km$ 、 $T = 260 K$ 、 $M = 29, 0 g mo l^{- 1}$ 、 $g = 9, 81 m s^{- 2}$ のとき、 $P (h) / P (0)$ を見積もれ。
このモデルの重要な限界を一つ挙げよ。

ヒント

平衡状態では、少量の物質をある高度から別の高度へ移しても、自由エネルギーは一次で変化しないはずである。

解答

1. もし

μ

がある高度で別の高度より大きければ、ポテンシャルの低い領域へ物質が移動することで自由エネルギーが減少するはずである。したがって平衡は

d μ = 0

を課す。 2. 温度一定のもとで

0 = d μ = R T \frac{d P}{P} + M g d z .

よって $d P / P = - (M g / R T) d z$ である。 $0$ から $z$ まで積分すると

\int_{P (0)}^{P (z)} \frac{d P}{P} = - \frac{M g}{R T} \int_{0}^{z} d z,

したがって

P (z) = P (0) exp (- \frac{M g z}{R T}) .

3. SI単位でのモル質量は $M = 2, 90 \times 1 0^{- 2} kg mo l^{- 1}$ である。指数は

\frac{M g h}{R T} = \frac{2 , 90 \times 1 0 ^{- 2} \times 9 , 81 \times 8 , 85 \times 1 0 ^{3}}{8 , 314 \times 260} ≃ 1, 17.

よって $P (h) / P (0) = e^{- 1, 17} ≃ 0, 31$ である。

4. 実際の大気の温度は高度とともに変化する。等温モデルは有用なオーダーを与えるが、正確な分布は与えない。また、湿度や組成の変化も無視している。