Esercizio svolto di termodinamica

Verificare una relazione di Maxwell lungo un'adiabatica

Esercizio 35 · Lezione 7 — Struttura matematica: le relazioni fondamentali

relazione di Maxwell
gas perfetto
adiabatica
capacità termica molare
derivate parziali

Testo

Per un sistema chiuso di composizione fissata,

d U = T d S - P d V .

Si considera un gas perfetto con capacità termica molare $c_{V}$ costante e si pone $γ = c_{P} / c_{V}$ , con $c_{P} - c_{V} = R$ .

Dedurre dal differenziale di $U (S, V)$ la relazione di Maxwell $(\frac{\partial T}{\partial V})_{S} = - (\frac{\partial P}{\partial S})_{V} .$
Calcolare il primo membro a partire da $T V^{γ - 1} = const$ .
Calcolare separatamente il secondo membro usando $P = n R T / V$ e $d S = n c_{V} d T / T$ a volume costante.
Verificare che i due risultati coincidono.

Suggerimento

Nella domanda 1, identificare

T = (\partial U / \partial S)_{V}

- P = (\partial U / \partial V)_{S}

, poi scambiare l'ordine di derivazione.

Soluzione dettagliata

Soluzione

1. Le variabili naturali di

U

sono

S

V

. Si ha quindi

T = (\frac{\partial U}{\partial S})_{V}, - P = (\frac{\partial U}{\partial V})_{S} .

Poiché le derivate miste di $U$ sono uguali,

(\frac{\partial T}{\partial V})_{S} = \frac{\partial ^{2} U}{\partial V \partial S} = - (\frac{\partial P}{\partial S})_{V} .

2. Lungo un'adiabatica reversibile, $T V^{γ - 1} = K$ . Differenziando a entropia costante,

V^{γ - 1} d T + T (γ - 1) V^{γ - 2} d V = 0.

Dividendo per $V^{γ - 1} d V$ ,

(\frac{\partial T}{\partial V})_{S} = - (γ - 1) \frac{T}{V} .

3. A volume costante, $P = n R T / V$ , quindi

(\frac{\partial P}{\partial S})_{V} = \frac{n R}{V} (\frac{\partial T}{\partial S})_{V} .

Ma $d S = n c_{V} d T / T$ a volume costante, da cui $(\partial T / \partial S)_{V} = T / (n c_{V})$ . Pertanto

- (\frac{\partial P}{\partial S})_{V} = - \frac{R T}{c _{V} V} .

4. La relazione di Mayer dà $R / c_{V} = (c_{P} - c_{V}) / c_{V} = γ - 1$ . Il secondo membro vale quindi $- (γ - 1) T / V$ , esattamente come il primo membro.