Esercizio svolto di termodinamica

Riscaldamento a pressione costante: scoperta di $c_{P}$

Esercizio 21 · Lezione 5 — Applicazione al gas ideale

capacità termica
pressione costante
relazione di Mayer
riscaldamento isobaro
gas perfetto

Testo

Una mole di gas perfetto, con capacità termica molare $c_{V}$ , è racchiusa in un cilindro di volume iniziale $V_{0}$ . Il cilindro è chiuso da un pistone mobile, privo di attrito e adiabatico, sottoposto a una pressione esterna costante $P_{0}$ . Una resistenza elettrica interna al gas gli fornisce un calore $Q > 0$ in modo quasistatico.

Disegnare un semplice schema del dispositivo. Indicare il gas, il pistone, la resistenza, la pressione esterna $P_{0}$ e gli scambi di energia.
Senza usare valori numerici, esprimere la temperatura iniziale $T_{0}$ , quindi determinare lo stato finale $(P_{f}, V_{f}, T_{f})$ , il lavoro $W$ ricevuto dal gas e la sua variazione di energia interna $Δ U$ .
Dedurne la capacità termica molare a pressione costante $c_{P} = (δ Q / d T)_{P}$ in funzione di $c_{V}$ e di $R$ .
Applicazione numerica per un gas perfetto monoatomico: $c_{V} = \frac{3}{2} R$ , $V_{0} = 25 L$ , $P_{0} = 1, 0 \times 1 0^{5} Pa$ , $Q = 1000 J$ e $R = 8, 314 J mo l^{- 1} K^{- 1}$ .

Suggerimento

La trasformazione è isobara:

W = - P_{0} Δ V

. Per una mole di gas perfetto,

P_{0} Δ V = R Δ T

. Inserire queste relazioni nel primo principio.

Soluzione dettagliata

Soluzione

Domanda 1. Lo schema deve mostrare il gas in un cilindro chiuso da un pistone mobile. Una freccia all'interno del cilindro rappresenta il calore

Q

fornito dalla resistenza. La pressione esterna

P_{0}

agisce sul pistone, che si sposta verso l'alto quando il gas si espande. Domanda 2. L'equazione di stato iniziale dà

T_{0} = \frac{P _{0} V _{0}}{R} .

La pressione rimane costante, quindi $P_{f} = P_{0}$ . Inoltre, $W = - P_{0} Δ V = - R Δ T$ . Il primo principio dà allora

Δ U = c_{V} Δ T = Q + W = Q - R Δ T,

da cui

Δ T = \frac{Q}{c _{V} + R} .

Lo stato finale è quindi

P_{f} = P_{0}, T_{f} = T_{0} + \frac{Q}{c _{V} + R}, V_{f} = V_{0} + \frac{R Q}{P _{0} ( c _{V} + R )} .

Infine,

W = - \frac{R Q}{c _{V} + R}, Δ U = \frac{c _{V} Q}{c _{V} + R} .

Domanda 3. Poiché $Q = (c_{V} + R) Δ T$ a pressione costante,

c_{P} = c_{V} + R .

Questa è la relazione di Mayer.

Domanda 4. Per un gas monoatomico,

c_{P} = \frac{5}{2} R ≃ 20, 8 J mo l^{- 1} K^{- 1} .

Si ottiene

T_{0} ≃ 301 K, Δ T ≃ 48, 1 K, T_{f} ≃ 349 K, V_{f} = 29, 0 L .

Infine,

W = - 400 J, Δ U = 600 J .