Esercizio svolto di termodinamica

Riscaldamento a pressione costante: scoperta di cPc_P

Esercizio 13 · Lezione 5 — Applicazione al gas ideale

  • capacità termica
  • pressione costante
  • relazione di Mayer
  • riscaldamento isobaro
  • gas perfetto

Testo

Una mole di gas perfetto, con capacità termica molare cVc_V, è racchiusa in un cilindro di volume iniziale V0V_0. Il cilindro è chiuso da un pistone mobile, privo di attrito e adiabatico, sottoposto a una pressione esterna costante P0P_0. Una resistenza elettrica interna al gas gli fornisce un calore Q>0Q>0 in modo quasistatico.

  1. Disegnare un semplice schema del dispositivo. Indicare il gas, il pistone, la resistenza, la pressione esterna P0P_0 e gli scambi di energia.
  2. Senza usare valori numerici, esprimere la temperatura iniziale T0T_0, quindi determinare lo stato finale (Pf,Vf,Tf)(P_f,V_f,T_f), il lavoro WW ricevuto dal gas e la sua variazione di energia interna ΔU\Delta U.
  3. Dedurne la capacità termica molare a pressione costante cP=(δQ/dT)Pc_P=(\delta Q/\mathrm{d}T)_P in funzione di cVc_V e di RR.
  4. Applicazione numerica per un gas perfetto monoatomico: cV=32Rc_V=\frac32R, V0=25 LV_0=25\ \mathrm{L}, P0=1,0×105 PaP_0=1{,}0\times10^5\ \mathrm{Pa}, Q=1000 JQ=1000\ \mathrm{J} e R=8,314 J mol−1 K−1R=8{,}314\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}.

Suggerimento
La trasformazione è isobara: W=−P0 ΔVW=-P_0\,\Delta V. Per una mole di gas perfetto, P0 ΔV=R ΔTP_0\,\Delta V=R\,\Delta T. Inserire queste relazioni nel primo principio.

Soluzione dettagliata

Soluzione
Domanda 1. Lo schema deve mostrare il gas in un cilindro chiuso da un pistone mobile. Una freccia all'interno del cilindro rappresenta il calore QQ fornito dalla resistenza. La pressione esterna P0P_0 agisce sul pistone, che si sposta verso l'alto quando il gas si espande.

Domanda 2. L'equazione di stato iniziale dà

T0=P0V0R.T_0=\frac{P_0V_0}{R}.

La pressione rimane costante, quindi Pf=P0P_f=P_0. Inoltre, W=−P0ΔV=−RΔTW=-P_0\Delta V=-R\Delta T. Il primo principio dà allora

ΔU=cVΔT=Q+W=Q−RΔT,\Delta U=c_V\Delta T=Q+W=Q-R\Delta T,

da cui

ΔT=QcV+R.\Delta T=\frac{Q}{c_V+R}.

Lo stato finale è quindi

Pf=P0,Tf=T0+QcV+R,Vf=V0+RQP0(cV+R).P_f=P_0,\qquad T_f=T_0+\frac{Q}{c_V+R},\qquad V_f=V_0+\frac{RQ}{P_0(c_V+R)}.

Infine,

W=−RQcV+R,ΔU=cVQcV+R.W=-\frac{RQ}{c_V+R}, \qquad \Delta U=\frac{c_VQ}{c_V+R}.

Domanda 3. Poiché Q=(cV+R)ΔTQ=(c_V+R)\Delta T a pressione costante,

cP=cV+R.c_P=c_V+R.

Questa è la relazione di Mayer.

Domanda 4. Per un gas monoatomico,

cP=52R≃20,8 J mol−1 K−1.c_P=\frac52R\simeq20{,}8\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}.

Si ottiene

T0≃301 K,ΔT≃48,1 K,Tf≃349 K,Vf=29,0 L.T_0\simeq301\ \mathrm{K},\qquad \Delta T\simeq48{,}1\ \mathrm{K},\qquad T_f\simeq349\ \mathrm{K},\qquad V_f=29{,}0\ \mathrm{L}.

Infine,

W=−400 J,ΔU=600 J.W=-400\ \mathrm{J},\qquad \Delta U=600\ \mathrm{J}.