Esercizio svolto di termodinamica

Lavoro di una trasformazione politropica $P V^{k} = cost.$

Esercizio 22 · Lezione 5 — Applicazione al gas ideale

trasformazione politropica
lavoro delle forze di pressione
legge di Laplace

Testo

Si considera una trasformazione quasistatica di un gas perfetto tale che $P V^{k} = cost.$ , con $k \in R$ e $k \neq = 1$ .

Calcolare $W_{A \to B}$ in funzione di $P_{A}, V_{A}, P_{B}, V_{B}$ e $k$ .
Ritrovare il risultato per un'isobara ( $k = 0$ ).
Quanto vale per un'isocora (senza usare la formula precedente)?
Che cosa accade per $k = 1$ ? Ritrovare $W = - n R T ln (V_{B} / V_{A})$ .

Suggerimento

Porre

P (V) = C V^{- k}

con

C = P_{A} V_{A}^{k}

, integrare, quindi usare

C V^{1 - k} = P V

Soluzione dettagliata

Soluzione

Domanda 1. La relazione politropica si scrive

P V^{k} = C, P (V) = C V^{- k}, C = P_{A} V_{A}^{k} = P_{B} V_{B}^{k} .

Il lavoro ricevuto dal gas vale, con la convenzione del banchiere,

W_{A \to B} = - \int_{V_{A}}^{V_{B}} P (V) d V = - C \int_{V_{A}}^{V_{B}} V^{- k} d V .

Per $k \neq = 1$ , una primitiva di $V^{- k}$ è $V^{1 - k} / (1 - k)$ . Pertanto,

W_{A \to B} = - \frac{C}{1 - k} (V_{B}^{1 - k} - V_{A}^{1 - k}) = \frac{C V _{A}^{1 - k} - C V _{B}^{1 - k}}{1 - k} .

Ora

C V_{A}^{1 - k} = P_{A} V_{A}, C V_{B}^{1 - k} = P_{B} V_{B} .

Infine,

W_{A \to B} = \frac{P _{A} V _{A} - P _{B} V _{B}}{1 - k} = \frac{P _{B} V _{B} - P _{A} V _{A}}{k - 1}

Domanda 2. Per $k = 0$ , la relazione $P V^{0} = C$ diventa $P = C$ : la trasformazione è isobara. Poiché $P_{A} = P_{B} = P$ ,

W_{A \to B} = P_{A} V_{A} - P_{B} V_{B} = P (V_{A} - V_{B}) = - P (V_{B} - V_{A}) = - P Δ V .

Si ritrova l'espressione diretta del lavoro isobaro.

Domanda 3. Per una trasformazione isocora,

V_{B} = V_{A}

d V = 0

in ogni istante. Di conseguenza,

W_{A \to B} = - \int_{A}^{B} P d V = 0.

Un'isocora non banale non corrisponde ad alcun valore finito di $k$ : se $V$ è costante, la relazione $P V^{k} = cost.$ imporrebbe anche che $P$ fosse costante. Si può vedere l'isocora soltanto come un limite formale $k \to \infty$ .

Domanda 4. Per

k = 1

, l'integranda è proporzionale a

1/ V

: la primitiva non è più una potenza, bensì un logaritmo. Occorre quindi eseguire nuovamente l'integrazione in modo separato. La relazione politropica diventa

P V = C .

Per un gas perfetto chiuso, $P V = n R T$ ; la temperatura è quindi costante e $C = n R T$ . Il lavoro ricevuto è allora

W_{A \to B} = - \int_{V_{A}}^{V_{B}} \frac{n R T}{V} d V = - n R T ln (\frac{V _{B}}{V _{A}}) .

Per una compressione, $V_{B} / V_{A} < 1$ , quindi il logaritmo è negativo e $W_{A \to B} > 0$ , come previsto.