Lavoro di una trasformazione politropica $PV^k=\text{cost.}$

Domanda 1. La relazione politropica si scrive

$$PV^k=C, \qquad P(V)=CV^{-k}, \qquad C=P_AV_A^k=P_BV_B^k.$$

Il lavoro ricevuto dal gas vale, con la convenzione del banchiere,

$$W_{A\to B} =-\int_{V_A}^{V_B}P(V)\,\mathrm{d}V =-C\int_{V_A}^{V_B}V^{-k}\,\mathrm{d}V.$$

Per $k\neq1$, una primitiva di $V^{-k}$ è $V^{1-k}/(1-k)$. Pertanto,

$$W_{A\to B} =-\frac{C}{1-k} \left(V_B^{1-k}-V_A^{1-k}\right) =\frac{CV_A^{1-k}-CV_B^{1-k}}{1-k}.$$

Ora

$$CV_A^{1-k}=P_AV_A, \qquad CV_B^{1-k}=P_BV_B.$$

Infine,

$$\boxed{ W_{A\to B} =\frac{P_AV_A-P_BV_B}{1-k} =\frac{P_BV_B-P_AV_A}{k-1} }.$$

Domanda 2. Per $k=0$, la relazione $PV^0=C$ diventa $P=C$: la trasformazione è isobara. Poiché $P_A=P_B=P$,

$$W_{A\to B} =P_AV_A-P_BV_B =P(V_A-V_B) =-P(V_B-V_A) =-P\Delta V.$$

Si ritrova l'espressione diretta del lavoro isobaro.

Domanda 3. Per una trasformazione isocora, $V_B=V_A$ e $\mathrm{d}V=0$ in ogni istante. Di conseguenza,

$$W_{A\to B}=-\int_A^B P\,\mathrm{d}V=0.$$

Un'isocora non banale non corrisponde ad alcun valore finito di $k$: se $V$ è costante, la relazione $PV^k=\text{cost.}$ imporrebbe anche che $P$ fosse costante. Si può vedere l'isocora soltanto come un limite formale $k\to\infty$.

Domanda 4. Per $k=1$, l'integranda è proporzionale a $1/V$: la primitiva non è più una potenza, bensì un logaritmo. Occorre quindi eseguire nuovamente l'integrazione in modo separato. La relazione politropica diventa

$$PV=C.$$

Per un gas perfetto chiuso, $PV=nRT$; la temperatura è quindi costante e $C=nRT$. Il lavoro ricevuto è allora

$$W_{A\to B} =-\int_{V_A}^{V_B}\frac{nRT}{V}\,\mathrm{d}V =-nRT\ln\!\left(\frac{V_B}{V_A}\right).$$

Per una compressione, $V_B/V_A<1$, quindi il logaritmo è negativo e $W_{A\to B}>0$, come previsto.