Testo

Si considerano $n$ moli di gas perfetto, con capacità termica molare $c_V$ costante, che percorrono il ciclo quasistatico $A\to B\to C\to A$ , con

A=(P_0,V_0), \qquad B=(2P_0,V_0), \qquad C=(P_0,2V_0).

Il ramo $A\to B$ è isocoro, il ramo $B\to C$ è un segmento di retta nel piano $(P,V)$ e il ramo $C\to A$ è isobaro.

Per un ciclo motore, il rendimento è definito da

\eta=\frac{W_{\mathrm{fourni}}}{Q_{\mathrm{in}}} =\frac{-W_{\mathrm{cycle}}}{Q_{\mathrm{in}}},

dove $Q_{\mathrm{in}}$ è la somma dei trasferimenti elementari di calore $\delta Q>0$ ricevuti dal gas durante il ciclo.

Rappresentare il ciclo nel diagramma di Clapeyron e precisarne il verso di percorrenza. È motore o frigorifero?
Determinare l'equazione $P(V)$ della retta che congiunge $B$ a $C$ .
Ponendo $T_0=P_0V_0/(nR)$ , determinare le temperature $T_A$ , $T_B$ e $T_C$ . Perché $\Delta U_{B\to C}$ è nulla sebbene questo ramo non sia isotermo?
Calcolare il lavoro ricevuto su ciascuno dei tre rami, poi sull'intero ciclo. Ritrovare il valore assoluto del lavoro totale a partire dall'area del triangolo.
Calcolare $\Delta U$ e $Q$ su ogni ramo in funzione soltanto di $P_0$ , $V_0$ e $c_V$ , quindi verificare che $\Delta U_{\mathrm{cycle}}=0$ e $Q_{\mathrm{cycle}}=-W_{\mathrm{cycle}}$ .
Ponendo $a = \frac{c_V}{R} >1$ e $x = V/V_0$ , mostrare che il segno di $\delta Q$ cambia in un punto del ramo $B\to C$ . Dedurne $Q_{\mathrm{in}}$ , quindi il rendimento $\eta$ di questo ciclo. Darne il valore per un gas perfetto monoatomico, per il quale $c_V=\frac32R$ .

Suggerimento

Su

B\to C

, cercare

P(V)=aV+b

imponendo il passaggio per

B

e

C

. Per calcolare una variazione di energia interna sono necessarie soltanto le temperature agli estremi del ramo. Per la domanda 6, usare il primo principio in forma differenziale.

Soluzione dettagliata

Soluzione

Domande 1—2. Il ciclo è percorso in senso orario: è motore. L'equazione della retta

B\to C

è

P(V)=P_0\left(3-\frac{V}{V_0}\right).

Il ciclo triangolare A B C A nel diagramma di Clapeyron. — Figura 1. Il ciclo triangolare $A\to B\to C\to A$ nel diagramma di Clapeyron.

Domanda 3. L'equazione di stato dà

T_A=T_0, \qquad T_B=T_C=2T_0.

La temperatura varia lungo $B\to C$ , ma riassume lo stesso valore ai due estremi. Poiché l'energia interna di un gas perfetto dipende soltanto dalla temperatura a quantità di sostanza fissata, $\Delta U_{B\to C}=0$ .

Domanda 4. I lavori ricevuti valgono

W_{AB}=0, \qquad W_{BC}=-\int_{V_0}^{2V_0}P(V)\,dV=-\frac32P_0V_0, \qquad W_{CA}=-P_0 \Delta V = P_0V_0.

Pertanto,

\boxed{W_{\mathrm{cycle}}=-\frac12P_0V_0}.

Il suo segno è negativo: durante il ciclo il gas fornisce lavoro. Il suo valore assoluto è effettivamente l'area del triangolo, di base $V_0$ e altezza $P_0$ , data dalla formula $A=\frac12\text{base}\times\text{altezza}$ per un triangolo rettangolo.

Domanda 5. Poiché $nRT_0=P_0V_0$ ,

\begin{aligned} \begin{array}{c|c|c|c} \text{Ramo} & W & \Delta U & Q=\Delta U-W\\ \hline A\to B & 0 & \dfrac{c_V}{R}P_0V_0 & \dfrac{c_V}{R}P_0V_0\\[4pt] B\to C & -\dfrac32P_0V_0 & 0 & \dfrac32P_0V_0\\[4pt] C\to A & P_0V_0 & -\dfrac{c_V}{R}P_0V_0 & -\left(\dfrac{c_V}{R}+1\right)P_0V_0 \end{array} \end{aligned}

Sommando i tre rami, si ottiene

\boxed{ \Delta U_{\mathrm{cycle}}=0, \qquad Q_{\mathrm{cycle}}=\frac12P_0V_0=-W_{\mathrm{cycle}}. }

Domanda 6. Poniamo $a=c_V/R$ e $x=V/V_0$ . Sul ramo $B\to C$ , $P=P_0(3-x)$ e $T=T_0(3x-x^2)$ . Il primo principio dà

\delta Q=\mathrm{d}U-\delta W =P_0V_0\left[3(a+1)-(2a+1)x\right]\mathrm{d}x.

Questo calore elementare si annulla per

x_\star=\frac{3(a+1)}{2a+1}.

Quando $a>1$ , si ha $1<x_\star<2$ : il gas riceve calore da $B$ fino al punto di ascissa $x_\star$ , poi ne cede fino a $C$ . Riceve anche il calore $Q_{AB}=aP_0V_0$ lungo $A\to B$ . Di conseguenza,

\begin{aligned} Q_{\mathrm{in}} &=P_0V_0\left[ a+\int_1^{x_\star}\left(3(a+1)-(2a+1)x\right)\mathrm{d}x \right]\\ &=P_0V_0\left[a+\frac{(a+2)^2}{2(2a+1)}\right]. \end{aligned}

Il rendimento vale quindi

\boxed{ \eta =\frac{\frac12P_0V_0}{Q_{\mathrm{in}}} =\frac{2a+1}{5a^2+6a+4}, \qquad a=\frac{c_V}{R}. }

Per un gas perfetto monoatomico, $a=\frac32$ , da cui

\eta=\frac{16}{97}\simeq16{,}5\,\%.