Esercizio svolto di termodinamica

Mescolamento di due masse d'acqua

Esercizio 3 · Lezione 2 — Storia della termodinamica e della calorimetria

calorimetria
mescolamento
capacità termica
calore specifico
Joseph Black
temperatura di equilibrio

Testo

Si versano $m_1=0{,}200\,\text{kg}$ d'acqua a $T_1=80\,^\circ\text{C}$ in un recipiente che contiene già $m_2=0{,}300\,\text{kg}$ d'acqua a $T_2=15\,^\circ\text{C}$ . Il recipiente è un calorimetro ideale: si trascurano le perdite di calore verso l'esterno e la capacità termica del recipiente stesso. Si ricorda la relazione $Q=mc\Delta T$ , dove $c=4{,}18\times10^3\,\text{J}\!\cdot\!\text{kg}^{-1}\!\cdot\!\text{K}^{-1}$ è la capacità termica massica dell'acqua liquida.

Giustificare che il calore ceduto dall'acqua calda è interamente ricevuto dall'acqua fredda. Scrivere l'equazione di conservazione con $m_1$ , $m_2$ , $c$ , $T_1$ , $T_2$ e la temperatura di equilibrio $T_{eq}$ .
Ricavare l'espressione di $T_{eq}$ e calcolarne il valore numerico.
Calcolare il calore $Q$ ceduto dall'acqua calda durante il mescolamento.
Mescolamenti della stessa sostanza permettono di determinare $c$ ? Giustificare.

Suggerimento

Poiché il calorimetro è isolato e rigido, l'energia interna totale

U_1+U_2

si conserva: il calore ceduto da una massa è ricevuto dall'altra con segno opposto.

Soluzione dettagliata

Soluzione

1. Poiché il calorimetro è isolato verso l'esterno (pareti adiabatiche e rigide), l'energia interna totale del sistema formato da acqua calda e acqua fredda si conserva: ciò che una perde viene acquistato esattamente dall'altra. Quindi

Q_{1,\textrm{ricevuto}}=-Q_{2,\textrm{ricevuto}}

, oppure

Q_{1,\textrm{ricevuto}}+Q_{2,\textrm{ricevuto}}=0

. Con la convenzione

Q=mc\Delta T

applicata a ciascuna massa d'acqua tra lo stato iniziale e l'equilibrio, si scrive

m_1c(T_{eq}-T_1)+m_2c(T_{eq}-T_2)=0.

2. Il fattore comune $c$ si semplifica:

T_{eq}=\frac{m_1T_1+m_2T_2}{m_1+m_2} =\frac{0{,}200\times80+0{,}300\times15}{0{,}200+0{,}300}=41\,^\circ\text{C}.

3. L'acqua calda cede

Q_{1,\textrm{ceduto}}=-Q_{1,\textrm{ricevuto}}=m_1c(T_1-T_{eq})=0{,}200\times4{,}18\times10^3\times(80-41) \approx3{,}26\times10^4\,\text{J}.

L'acqua fredda riceve la stessa quantità:

Q_{2,\textrm{ricevuto}}=m_2c(T_{eq}-T_2)=0{,}300\times4{,}18\times10^3\times26 \approx3{,}26\times10^4\,\text{J}.

4. No. Per due masse della stessa sostanza, lo stesso coefficiente $c$ moltiplica entrambi i termini del bilancio e si semplifica. La temperatura di equilibrio non dipende da $c$ , ma è la media delle temperature iniziali ponderata con le masse. Per misurare una capacità termica massica con il metodo dei mescolamenti occorre una sostanza di capacità nota, come nell'esercizio seguente.