Esercizio svolto di termodinamica

Ciclo frigorifero rettangolare?

Esercizio 23 · Lezione 5 — Applicazione al gas ideale

ciclo termodinamico
ciclo rettangolare
diagramma di Clapeyron
lavoro
calore
area
gas perfetto
ciclo frigorifero
macchina frigorifera

Testo

Si considerano $n$ moli di gas perfetto monoatomico, con $U = \frac{3}{2} n R T$ , che percorrono in modo quasistatico il ciclo rettangolare in senso antiorario

A (P_{1}, V_{1}) \to B (P_{1}, V_{2}) \to C (P_{2}, V_{2}) \to D (P_{2}, V_{1}) \to A,

dove $V_{2} > V_{1}$ e $P_{2} > P_{1}$ . Si porrà

Δ P = P_{2} - P_{1} > 0, Δ V = V_{2} - V_{1} > 0.

Rappresentare il ciclo nel diagramma di Clapeyron $(P, V)$ e precisare la natura di ciascun ramo.
Calcolare il lavoro ricevuto su ciascuno dei quattro rami in funzione di $Δ V$ quando quest'ultimo varia, quindi il lavoro totale in funzione di $Δ P$ e $Δ V$ . Ritrovare il suo valore a partire dall'area del rettangolo.
Esprimere $Δ U$ e $Q$ su ciascun ramo in funzione di $P_{1}$ , $P_{2}$ , $V_{1}$ , $V_{2}$ , $Δ P$ e $Δ V$ , usando $Δ P$ sulle isocore e $Δ V$ sulle isobare.
Verificare che $Δ U_{cycle} = 0$ e $Q_{cycle} = - W_{cycle}$ . Il ciclo è motore o ricevente, cioè produce o assorbe lavoro netto? Su quali rami il gas riceve calore e su quali lo cede? Mostrare che il calore totale ceduto dal gas, $Q_{out} > 0$ , è uguale al calore totale ricevuto, $Q_{in} > 0$ , aumentato del lavoro ricevuto $W_{cycle}$ .
Esprimere le temperature $T_{A}$ , $T_{B}$ , $T_{C}$ e $T_{D}$ dei quattro vertici. Qual è la più bassa e quale la più alta? Come varia la temperatura del gas lungo ciascun ramo? Tra quali temperature il gas riceve calore e tra quali lo cede?
Si vorrebbe usare questo ciclo come frigorifero: prelevare calore da una cella fredda e cederlo all'aria più calda della stanza. Perché un corpo riceva calore, la sorgente con cui è a contatto deve essere più calda di esso. Quali temperature devono avere le sorgenti che forniscono calore al gas e quelle che ne ricevono? Questo ciclo può funzionare come frigorifero?
Applicazione numerica: $P_{1} = 1, 0$ bar, $P_{2} = 3, 0$ bar, $V_{1} = 5, 0$ L e $V_{2} = 15, 0$ L. Calcolare $W$ e $Q$ su ciascun ramo, poi $W_{cycle}$ , $Q_{in}$ e $Q_{out}$ . Calcolare infine i rapporti $T_{B} / T_{A}$ , $T_{C} / T_{A}$ e $T_{D} / T_{A}$ e concludere.

Suggerimento

Su un'isocora,

n R Δ T = V Δ P

e il lavoro è nullo. Su un'isobara,

n R Δ T = P Δ V

W = - P Δ V

. Ogni funzione di stato ritrova il proprio valore iniziale alla fine di un ciclo.

Soluzione dettagliata

Soluzione

Domanda 1. I punti

A

B

C

D

si trovano rispettivamente in basso a sinistra, in basso a destra, in alto a destra e in alto a sinistra. I rami

A \to B

C \to D

sono isobari;

B \to C

D \to A

sono isocori. Il percorso

A \to B \to C \to D \to A

è in senso antiorario.

Figura 1. Il ciclo rettangolare isobare–isocore nel diagramma di Clapeyron.

Domanda 2. Il lavoro ricevuto dal gas è

W = - \int P_{ext} d V .

È nullo sulle isocore $B \to C$ e $D \to A$ . Sulle due isobare,

W_{A B} = - P_{1} (V_{2} - V_{1}) = - P_{1} Δ V, W_{C D} = - P_{2} (V_{1} - V_{2}) = P_{2} Δ V .

Pertanto,

W_{cycle} = (- P_{1} + P_{2}) Δ V = Δ P Δ V > 0

Questo valore è effettivamente l'area del rettangolo nel diagramma di Clapeyron.

Domanda 3. Per il gas perfetto monoatomico,

Δ U = n c_{V} Δ T = \frac{3}{2} n R Δ T .

Su un'isobara, l'equazione di stato dà $n R Δ T = P Δ V_{branch}$ . Di conseguenza,

Δ U_{A B} = \frac{3}{2} P_{1} Δ V, Δ U_{C D} = - \frac{3}{2} P_{2} Δ V .

Su un'isocora, essa dà $n R Δ T = V Δ P_{branch}$ , da cui

Δ U_{B C} = \frac{3}{2} V_{2} Δ P, Δ U_{D A} = - \frac{3}{2} V_{1} Δ P .

Infine, il primo principio $Δ U = Q + W$ , ossia $Q = Δ U - W$ , conduce alla tabella riepilogativa:

Ramo A \to B B \to C C \to D D \to A W - P_{1} Δ V 0 P_{2} Δ V 0 Δ U \frac{3}{2} P_{1} Δ V \frac{3}{2} V_{2} Δ P - \frac{3}{2} P_{2} Δ V - \frac{3}{2} V_{1} Δ P Q = Δ U - W \frac{5}{2} P_{1} Δ V \frac{3}{2} V_{2} Δ P - \frac{5}{2} P_{2} Δ V - \frac{3}{2} V_{1} Δ P

Domanda 4. La somma delle variazioni di energia interna è nulla, come per ogni funzione di stato su un ciclo. Il primo principio impone quindi

Q_{cycle} = - W_{cycle} = - Δ P Δ V < 0.

Il gas riceve complessivamente lavoro: il ciclo è ricevente. Dalla tabella, riceve calore su $A \to B$ e $B \to C$ e lo cede su $C \to D$ e $D \to A$ :

Q_{in} = Q_{A B} + Q_{B C} = \frac{5}{2} P_{1} Δ V + \frac{3}{2} V_{2} Δ P, Q_{out} = - (Q_{C D} + Q_{D A}) = \frac{5}{2} P_{2} Δ V + \frac{3}{2} V_{1} Δ P .

Sottraendo, con $P_{2} - P_{1} = Δ P$ e $V_{2} - V_{1} = Δ V$ ,

Q_{out} - Q_{in} = \frac{5}{2} Δ P Δ V - \frac{3}{2} Δ P Δ V = Δ P Δ V = W_{cycle},

da cui

Q_{out} = Q_{in} + W_{cycle}

Su un ciclo, il gas restituisce sotto forma di calore tutta l'energia ricevuta, calore e lavoro compresi.

Domanda 5. L'equazione di stato dà

T = P V / (n R)

in ogni vertice:

T_{A} = \frac{P _{1} V _{1}}{n R}, T_{B} = \frac{P _{1} V _{2}}{n R}, T_{C} = \frac{P _{2} V _{2}}{n R}, T_{D} = \frac{P _{2} V _{1}}{n R} .

Poiché $P_{1} < P_{2}$ e $V_{1} < V_{2}$ , il prodotto $P V$ è minimo in $A$ e massimo in $C$ : $T_{A}$ è la temperatura più bassa del ciclo, $T_{C}$ la più alta, e $T_{B}$ , $T_{D}$ sono intermedie.

Sull'isobara

A \to B

V

aumenta a pressione costante, quindi

T

cresce da

T_{A}

T_{B}

. Sull'isocora

B \to C

P

aumenta a volume costante, quindi

T

cresce da

T_{B}

T_{C}

. Allo stesso modo,

T

diminuisce da

T_{C}

T_{D}

C \to D

, poi da

T_{D}

T_{A}

D \to A

. Il gas riceve dunque calore mentre la sua temperatura sale dal valore più basso

T_{A}

al più alto

T_{C}

, e lo cede mentre ridiscende da

T_{C}

T_{A}

. Domanda 6. Per ricevere calore, il gas deve essere a contatto con sorgenti almeno altrettanto calde; nel limite quasistatico, la loro temperatura segue quella del gas. Le sorgenti che forniscono calore al gas hanno quindi temperature che vanno da

T_{A}

fino a

T_{C}

, la temperatura più alta del ciclo. Viceversa, le sorgenti che ricevono il suo calore hanno temperature che vanno da

T_{C}

fino a

T_{A}

, la più bassa del ciclo. Non esistono quindi un lato freddo e un lato caldo separati: il gas preleva calore da sorgenti molto calde e ne cede a sorgenti molto fredde. Questo ciclo non può fungere da frigorifero, che deve prelevare il calore alle temperature più basse e cederlo alle più alte. Riceve lavoro e lo restituisce interamente sotto forma di calore (

Q_{cycle} = - W_{cycle}

), ridistribuendo calore tra sorgenti a temperature diverse. Un frigorifero deve invece assorbire calore nelle parti più fredde del suo ciclo e cederlo in quelle più calde. È il caso del ciclo di Carnot percorso in senso inverso, studiato nella Lezione 6: il gas riceve calore lungo l'isoterma fredda e lo cede lungo l'isoterma calda. Non basta dunque che un ciclo sia ricevente perché sia frigorifero. Domanda 7. Qui

Δ P = 2, 0 \times 1 0^{5}

Pa e

Δ V = 1, 0 \times 1 0^{- 2}

^{3}

Ramo A \to B B \to C C \to D D \to A W (J) - 1000 030000 Δ U (J) 15004500 - 4500 - 1500 Q (J) 25004500 - 7500 - 1500

Quindi $W_{cycle} = + 2000 J$ , $Q_{cycle} = - 2000 J$ e $Δ U_{cycle} = 0$ . Il calore ricevuto vale $Q_{in} = 2500 + 4500 = 7000 J$ e il calore ceduto $Q_{out} = 7500 + 1500 = 9000 J = Q_{in} + W_{cycle}$ . I rapporti di temperatura non dipendono da $n$ :

\frac{T _{B}}{T _{A}} = \frac{V _{2}}{V _{1}} = 3, \frac{T _{C}}{T _{A}} = \frac{P _{2} V _{2}}{P _{1} V _{1}} = 9, \frac{T _{D}}{T _{A}} = \frac{P _{2}}{P _{1}} = 3.

Se la temperatura più bassa del ciclo fosse quella di una cella fredda, per esempio $T_{A} = 270 K$ , il gas dovrebbe ricevere calore da sorgenti fino a $T_{C} = 9 T_{A} ≃ 2400 K$ . Un ciclo simile, evidentemente, non raffredda la cella.