Testo

Si considerano $n$ moli di gas perfetto monoatomico, con $U=\frac{3}{2}nRT$ , che percorrono in modo quasistatico il ciclo rettangolare in senso antiorario

A(P_1,V_1)\to B(P_1,V_2)\to C(P_2,V_2) \to D(P_2,V_1)\to A,

dove $V_2>V_1$ e $P_2>P_1$ . Si porrà

\Delta P=P_2-P_1>0, \qquad \Delta V=V_2-V_1>0.

Questo ciclo frigorifero viene usato come modello di macchina frigorifera. Il suo coefficiente di prestazione frigorifera (COP) è definito da

\mathrm{COP}=\frac{Q_f}{W_{\mathrm{in}}} =\frac{Q_f}{W_{\mathrm{cycle}}},

dove $Q_f>0$ è il calore totale prelevato dal gas sui rami in cui riceve calore, e $W_{\mathrm{cycle}}>0$ il lavoro netto che esso riceve.

Rappresentare il ciclo nel diagramma di Clapeyron $(P,V)$ e precisare la natura di ciascun ramo.
Calcolare il lavoro ricevuto su ciascuno dei quattro rami in funzione di $\Delta V$ quando quest'ultimo varia, quindi il lavoro totale in funzione di $\Delta P$ e $\Delta V$ . Ritrovare il suo valore a partire dall'area del rettangolo.
Esprimere $\Delta U$ e $Q$ su ciascun ramo in funzione di $P_1$ , $P_2$ , $V_1$ , $V_2$ , $\Delta P$ e $\Delta V$ , usando $\Delta P$ sulle isocore e $\Delta V$ sulle isobare.
Verificare che $\Delta U_{\mathrm{cycle}}=0$ e $Q_{\mathrm{cycle}}=-W_{\mathrm{cycle}}$ . Il ciclo è motore o frigorifero? Su quali rami il gas riceve calore e su quali lo cede? Interpretare questi scambi identificando le sorgenti fredde e le sorgenti calde: che cosa viene raffreddato in questo caso?
Dedurne il COP frigorifero del ciclo in funzione di $P_1$ , $P_2$ , $V_1$ e $V_2$ .
Interpretare fisicamente il COP. Perché può essere maggiore di 1, contrariamente al rendimento di un motore termico?
Applicazione numerica: $P_1=1{,}0$ bar, $P_2=3{,}0$ bar, $V_1=5{,}0$ L e $V_2=15{,}0$ L. Dare $W$ e $Q$ su ciascun ramo, quindi i rispettivi bilanci sul ciclo e il COP.

Suggerimento

Su un'isocora,

nR\,\Delta T=V\,\Delta P

e il lavoro è nullo. Su un'isobara,

nR\,\Delta T=P\,\Delta V

e

W=-P\Delta V

. Ogni funzione di stato ritrova il proprio valore iniziale alla fine di un ciclo.

Soluzione dettagliata

Soluzione

Domanda 1. I punti

A

,

B

,

C

e

D

si trovano rispettivamente in basso a sinistra, in basso a destra, in alto a destra e in alto a sinistra. I rami

A\to B

e

C\to D

sono isobari;

B\to C

e

D\to A

sono isocori. Il percorso

A\to B\to C\to D\to A

è in senso antiorario.

Figura 1. Il ciclo rettangolare isobare—isocore nel diagramma di Clapeyron.

Domanda 2. Il lavoro ricevuto dal gas è

W=-\int P_{\mathrm{ext}}\,\mathrm dV.

È nullo sulle isocore $B\to C$ e $D\to A$ . Sulle due isobare,

W_{AB}=-P_1(V_2-V_1)=-P_1\Delta V, \qquad W_{CD}=-P_2(V_1-V_2)=P_2\Delta V.

Pertanto,

\boxed{W_{\mathrm{cycle}} =(-P_1+P_2)\Delta V =\Delta P\,\Delta V>0}.

Questo valore è effettivamente l'area del rettangolo nel diagramma di Clapeyron.

Domanda 3. Per il gas perfetto monoatomico,

\Delta U=nc_V\Delta T=\frac32nR\Delta T.

Su un'isobara, l'equazione di stato dà $nR\Delta T=P\Delta V_{\mathrm{branche}}$ . Di conseguenza,

\Delta U_{AB}=\frac32P_1\Delta V, \qquad \Delta U_{CD}=-\frac32P_2\Delta V.

Su un'isocora, essa dà $nR\Delta T=V\Delta P_{\mathrm{branche}}$ , da cui

\Delta U_{BC}=\frac32V_2\Delta P, \qquad \Delta U_{DA}=-\frac32V_1\Delta P.

Infine, il primo principio $\Delta U=Q+W$ , ossia $Q=\Delta U-W$ , conduce alla tabella riepilogativa:

\begin{aligned} \begin{array}{c|c|c|c} \text{Ramo} & W & \Delta U & Q=\Delta U-W\\ \hline A\to B & -P_1\Delta V & \frac32P_1\Delta V & \frac52P_1\Delta V\\[2pt] B\to C & 0 & \frac32V_2\Delta P & \frac32V_2\Delta P\\[2pt] C\to D & P_2\Delta V & -\frac32P_2\Delta V & -\frac52P_2\Delta V\\[2pt] D\to A & 0 & -\frac32V_1\Delta P & -\frac32V_1\Delta P \end{array} \end{aligned}

Domanda 4. La somma delle variazioni di energia interna è nulla. Il primo principio impone quindi

Q_{\mathrm{cycle}}=-W_{\mathrm{cycle}}=-\Delta P\,\Delta V<0.

Nel complesso il gas riceve lavoro: il ciclo è frigorifero. Riceve calore lungo $A\to B$ e $B\to C$ . Su questi due rami preleva calore dalle sorgenti fredde con cui viene posto a contatto: sono dunque queste sorgenti esterne (per esempio il vano e gli alimenti di un frigorifero), e non il gas ciclico stesso, a essere raffreddate.

Lungo $C\to D$ e $D\to A$ , il gas cede invece calore alle sorgenti calde, per esempio all'aria della stanza. Indicando con $Q_{\mathrm{chaud}}>0$ il calore totale ricevuto da queste sorgenti,

Q_{\mathrm{chaud}} =-(Q_{CD}+Q_{DA}) =\frac52P_2\Delta V+\frac32V_1\Delta P.

Il ciclo trasferisce così calore dalle sorgenti fredde a quelle calde grazie al lavoro che riceve.

Domanda 5. Il calore prelevato dal gas vale

Q_f =Q_{AB}+Q_{BC} =\frac52P_1\Delta V+\frac32V_2\Delta P.

Se ne deduce

\boxed{ \mathrm{COP} =\frac{\frac52P_1\Delta V+\frac32V_2\Delta P} {\Delta P\,\Delta V}. }

Domanda 6. Il COP misura il guadagno frigorifero ottenuto rispetto al lavoro investito: un COP uguale a $k$ significa che ogni joule di lavoro fornito permette di prelevare $k$ joule di calore dalle sorgenti fredde.

Contrariamente al rendimento di un motore termico, il COP non è la frazione dell'energia ricevuta che viene convertita in lavoro. Il gas riceve sia il lavoro $W_{\mathrm{in}}$ sia il calore $Q_f$ prelevato dalle sorgenti fredde, quindi ne cede la somma alle sorgenti calde:

\boxed{Q_{\mathrm{chaud}}=Q_f+W_{\mathrm{in}}}.

Non vi è quindi alcun motivo per cui $Q_f$ debba essere inferiore a $W_{\mathrm{in}}$ , e il COP può essere tranquillamente maggiore di 1 senza contraddire la conservazione dell'energia.

Domanda 7. Qui $\Delta P=2{,}0\times10^5$ Pa e $\Delta V=1{,}0\times10^{-2}$ m $^3$ :

\begin{aligned} \begin{array}{c|r|r|r} \text{Ramo} & W\ (\mathrm J) & \Delta U\ (\mathrm J) & Q\ (\mathrm J)\\ \hline A\to B & -1000 & 1500 & 2500\\ B\to C & 0 & 4500 & 4500\\ C\to D & 3000 & -4500 & -7500\\ D\to A & 0 & -1500 & -1500 \end{array} \end{aligned}

Pertanto $W_{\mathrm{cycle}}=+2000$ J, $Q_{\mathrm{cycle}}=-2000$ J e $\Delta U_{\mathrm{cycle}}=0$ . Il calore prelevato vale

Q_f=2500+4500=7000\ \mathrm{J},

mentre il calore ceduto alle sorgenti calde vale

Q_{\mathrm{chaud}}=7500+1500=9000\ \mathrm{J} =Q_f+W_{\mathrm{cycle}}.

Il coefficiente di prestazione frigorifera è quindi

\mathrm{COP}=\frac{7000}{2000}=3{,}5.