Esercizio svolto di termodinamica

Il gas di fotoni nell'Universo

Esercizio 39 · Lezione 7 — Struttura matematica: le relazioni fondamentali

gas di fotoni
radiazione
radiazione cosmica di fondo
relazione fondamentale
espansione adiabatica
funzione omogenea
potenziale chimico nullo

Testo

Nei primi istanti dell'Universo, la materia è un plasma caldo di nuclei, elettroni e fotoni. Verso $T_{i} \approx 3000 K$ si formano i primi atomi e i fotoni diventano liberi. Si considera che in quell'istante il gas di fotoni sia in equilibrio alla temperatura $T_{i}$ e che poi subisca un'espansione adiabatica reversibile nel corso dell'espansione dell'Universo. Si ammette la sua relazione fondamentale

S (U, V) = \frac{4}{3} a V^{1/4} U^{3/4},

dove $a$ è una costante dimensionale positiva. L'entropia non dipende dal numero $N$ di fotoni: questo numero non si conserva.

Ricordare la definizione di funzione omogenea di grado uno e mostrare che $S$ lo è.
Rappresentare l'andamento di $S$ in funzione di $U$ a $V$ fissato. Questa funzione è concava? Commentare.
Determinare $T$ , $P$ e $μ$ a partire dalle derivate di $S$ . Mostrare in particolare che $U = a^{4} V T^{4}$ e che $P = U / (3 V)$ , poi commentare il valore di $μ$ .
Scrivere il primo principio per questo gas e specializzarlo a un'espansione adiabatica reversibile. Dedurne una relazione tra $U$ e $V$ lungo questa trasformazione.
Dedurne che $V T^{3}$ resta costante durante l'espansione.
Ritrovare questo risultato direttamente, a partire dall'entropia espressa in funzione di $T$ e $V$ .
Oggi il gas di fotoni si osserva a $T_{f} \approx 3 K$ : è la radiazione cosmica di fondo. Di quale fattore è stato moltiplicato il volume dell'Universo dall'emissione a oggi?

Suggerimento

Nella rappresentazione dell'entropia,

1/ T = (\partial S / \partial U)_{V}

P / T = (\partial S / \partial V)_{U}

μ / T = - (\partial S / \partial N)_{U, V}

. Per la domanda 4, una trasformazione adiabatica reversibile soddisfa

d S = 0

, quindi

d U = - P d V

: separare le variabili.

Soluzione dettagliata

Soluzione

Domanda 1. Una funzione

f

di più variabili è omogenea di grado uno se

f (λ x, λ y) = λ f (x, y)

per ogni

λ > 0

. Qui,

S (λ U, λV) = \frac{4}{3} a (λV)^{1/4} (λ U)^{3/4} = \frac{4}{3} a λ^{1/4 + 3/4} V^{1/4} U^{3/4} = λ S (U, V) .

L'entropia del gas di fotoni è quindi estensiva.

Domanda 2. A

V

fissato,

S

è proporzionale a

U^{3/4}

. La sua derivata prima,

(\frac{\partial S}{\partial U})_{V} = a V^{1/4} U^{- 1/4} > 0,

è positiva: $S$ cresce con $U$ e la temperatura è positiva. La sua derivata seconda,

(\frac{\partial ^{2} S}{\partial U ^{2}})_{V} = - \frac{a}{4} V^{1/4} U^{- 5/4} < 0,

è negativa: $S$ è concava in $U$ . La curva parte dall'origine con tangente verticale, poi si incurva restando al di sopra delle sue corde. Questa concavità esprime la stabilità dell'equilibrio del gas di fotoni.

Domanda 3. Per la domanda 2,

\frac{1}{T} = a (\frac{V}{U})^{1/4} ⟹ (\frac{U}{V})^{1/4} = a T ⟹ U = a^{4} V T^{4} .

La derivata rispetto a $V$ , a $U$ fissata, vale

\frac{P}{T} = (\frac{\partial S}{\partial V})_{U} = \frac{4}{3} a \cdot \frac{1}{4} V^{- 3/4} U^{3/4} = \frac{a}{3} (\frac{U}{V})^{3/4} .

Ma $(U / V)^{3/4} = ((U / V)^{1/4})^{3} = a^{3} T^{3}$ , da cui

P = T \cdot \frac{a}{3} \cdot a^{3} T^{3} = \frac{a ^{4} T ^{4}}{3} = \frac{U}{3 V} .

Infine, $S$ non dipende da $N$ , quindi $μ = - T (\partial S / \partial N)_{U, V} = 0$ . Il potenziale chimico dei fotoni è nullo: poiché il loro numero non si conserva, esso si aggiusta liberamente all'equilibrio, e aggiungerne uno non costa nulla.

Domanda 4. Poiché il termine

μ d N

è nullo, la relazione fondamentale in forma differenziale si scrive

d U = T d S - P d V

. Per un'espansione adiabatica reversibile,

d S = 0

, quindi, con

P = U / (3 V)

d U = - P d V = - \frac{U}{3 V} d V ⟹ \frac{d U}{U} = - \frac{1}{3} \frac{d V}{V} .

Integrando tra lo stato iniziale e uno stato qualsiasi dell'espansione, $ln (U / U_{i}) = - \frac{1}{3} ln (V / V_{i})$ , ossia

U V^{1/3} = const .

Domanda 5. Sostituiamo $U$ con $a^{4} V T^{4}$ :

a^{4} V T^{4} \cdot V^{1/3} = a^{4} V^{4/3} T^{4} = const .

Poiché $a$ è costante, $V^{4/3} T^{4} = (V^{1/3} T)^{4}$ è costante, quindi lo è anche $V^{1/3} T$ ; elevando al cubo, $V T^{3} = const$ .

Domanda 6. Esprimiamo

S

in funzione di

T

V

sostituendovi

U

con

a^{4} V T^{4}

S = \frac{4}{3} a V^{1/4} (a^{4} V T^{4})^{3/4} = \frac{4}{3} a V^{1/4} a^{3} V^{3/4} T^{3} = \frac{4}{3} a^{4} V T^{3} .

Un'espansione adiabatica reversibile è isoentropica: $S$ è costante, quindi lo è anche $V T^{3}$ . Si ritrova direttamente il risultato della domanda 5.

Domanda 7. Poiché

V T^{3}

si conserva,

\frac{V _{f}}{V _{i}} = (\frac{T _{i}}{T _{f}})^{3} = (\frac{3000}{3})^{3} = (1 0^{3})^{3} = 1 0^{9} .

Dall'emissione a oggi il volume dell'Universo è stato moltiplicato per un miliardo, il che corrisponde a un fattore $1 0^{3}$ sulle distanze. La radiazione emessa a circa $3000 K$ , raffreddata dall'espansione, è la radiazione cosmica di fondo misurata oggi a $2, 7 K$ .